pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 11-a

Exerciții rezolvate cu derivate — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 88 exerciții rezolvate cu derivate pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de derivate.

Derivate #1

Fie funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3x. Valoarea limitei lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} este:
  1. A. 55
  2. B. 44
  3. C. 22
  4. D. 33
Rezolvare

Răspuns corect: A. 55

Calculăm f(1)=12+3⋅1=4f(1)=1^2+3\cdot 1=4, deci limita devine: lim⁡x→1x2+3x−4x−1\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2+3x-4}{x-1} Forma este nedeterminată, 00\dfrac{0}{0}, așa că factorizăm numărătorul: x2+3x−4=(x−1)(x+4)x^2+3x-4=(x-1)(x+4). Pentru x≠1x\neq 1: (x−1)(x+4)x−1=x+4\dfrac{(x-1)(x+4)}{x-1}=x+4 Prin urmare: lim⁡x→1(x+4)=5\lim_{x\to 1}(x+4)=5 Echivalent: limita este f′(1)f'(1) pentru f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3x, iar f′(x)=2x+3f'(x)=2x+3, deci f′(1)=2⋅1+3=5f'(1)=2\cdot 1+3=5.

Derivate #2

Fie f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7. Conform teoremei lui Fermat, abscisa punctului staționar al lui ff este:
  1. A. 44
  2. B. 22
  3. C. −2-2
  4. D. 77
Rezolvare

Răspuns corect: B. 22

Derivăm: f′(x)=2x−4.f'(x) = 2x - 4. Punem f′(x)=0f'(x) = 0: 2x−4=0  ⟹  x=2.2x - 4 = 0 \implies x = 2. Verificare: f′(2)=2⋅2−4=0f'(2) = 2\cdot 2 - 4 = 0. ✓

Derivate #3

Fie f(x)=1x73+ln⁡x103f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^7}}+\ln\sqrt[3]{x^{10}}. Aflați f(1)+f′(1)f(1)+f'(1).
  1. A. −173-\dfrac{17}{3}
  2. B. 310\dfrac{3}{10}
  3. C. 1\text{1}
  4. D. 2\text{2}
  5. E. 103\dfrac{10}{3}
  6. F. 0\text{0}
Rezolvare

Răspuns corect: D. 2\text{2}

f(x)=x−7/3+103ln⁡xf(x)=x^{-7/3}+\dfrac{10}{3}\ln x. f(1)=1−7/3+103ln⁡1=1+0=1f(1)=1^{-7/3}+\dfrac{10}{3}\ln 1=1+0=1. f′(x)=−73x−10/3+103xf'(x)=-\dfrac{7}{3}x^{-10/3}+\dfrac{10}{3x}, deci f′(1)=−73+103=1f'(1)=-\dfrac{7}{3}+\dfrac{10}{3}=1. Așadar f(1)+f′(1)=1+1=2f(1)+f'(1)=1+1=2.

Derivate #4

Daca f(x)=(x2+1)3f(x) = (x^2 + 1)^3, calculati f′(1)f'(1).
  1. A. 1212
  2. B. 1818
  3. C. 2424
  4. D. 4848
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2424

f′(x)=3(x2+1)2⋅2x=6x(x2+1)2f'(x) = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2. In x=1x=1: 6⋅1⋅4=246 \cdot 1 \cdot 4 = 24.

Derivate #5

Fie f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3mxf(x) = x^3 - 3mx, unde m∈Rm\in\mathbb{R}. Valoarea lui mm pentru care x=2x=2 este punct staționar al lui ff este:
  1. A. 44
  2. B. 1212
  3. C. −4-4
  4. D. 23\dfrac{2}{3}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 44

Derivăm: f′(x)=3x2−3m.f'(x) = 3x^2 - 3m. Punem condiția f′(2)=0f'(2)=0: 3⋅4−3m=0  ⟹  12=3m  ⟹  m=4.3\cdot 4 - 3m = 0 \implies 12 = 3m \implies m = 4. Verificare: pentru m=4m=4, f′(x)=3x2−12f'(x) = 3x^2-12, iar f′(2)=12−12=0f'(2) = 12-12=0. ✓

Derivate #6

Fie f:[1,3]→Rf:[1,3]\to\mathbb{R}, f(x)=x2f(x) = x^2. Valoarea lui cc dată de teorema lui Lagrange pentru ff pe [1,3][1,3] este:
  1. A. 44
  2. B. 1,51{,}5
  3. C. 22
  4. D. 33
Rezolvare

Răspuns corect: C. 22

Panta dreptei prin capete: f(3)−f(1)3−1=9−12=4.\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4. Rezolvăm f′(c)=4f'(c) = 4: f′(x)=2x=4  ⟹  x=2.f'(x) = 2x = 4 \implies x = 2. Cum 2∈(1,3)2\in(1,3), avem c=2c=2. Verificare: f′(2)=4f'(2)=4, egal cu panta calculată. ✓

Derivate #7

Valoarea limitei lim⁡x→2x2−4x−2\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} este:
  1. A. 00
  2. B. 22
  3. C. 44
  4. D. 88
Rezolvare

Răspuns corect: C. 44

Limita are forma nedeterminată 00\frac{0}{0}. Factorizăm numărătorul: x2−4x−2=(x−2)(x+2)x−2=x+2\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = x + 2 Deci limita este 2+2=42 + 2 = 4. (Echivalent: este f′(2)f'(2) pentru f(x)=x2f(x)=x^2, iar f′(x)=2xf'(x)=2x.)

Derivate #8

Pentru f(x)=x3f(x) = x^3, valoarea limitei lim⁡h→0(3+h)3−27h\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^3 - 27}{h} este:
  1. A. 33
  2. B. 99
  3. C. 1818
  4. D. 2727
Rezolvare

Răspuns corect: D. 2727

Limita este, prin definiție, f′(3)f'(3) pentru f(x)=x3f(x) = x^3. Cum f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2, obținem: f′(3)=3⋅32=27f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 27 (Distractorul 99 apare dacă se folosește din greșeală x2x^2 în loc de 3x23x^2.)

Derivate #9

Fie f(x)=(x2+1)(x−3)f(x) = (x^2 + 1)(x - 3). Atunci f′(2)f'(2) este egal cu:
  1. A. 11
  2. B. 44
  3. C. −2-2
  4. D. 77
Rezolvare

Răspuns corect: A. 11

Cu u=x2+1u = x^2+1 și v=x−3v = x-3 avem u′=2xu' = 2x, v′=1v' = 1: f′(x)=2x(x−3)+(x2+1)⋅1=3x2−6x+1f'(x) = 2x(x-3) + (x^2+1)\cdot 1 = 3x^2 - 6x + 1 La x=2x = 2: f′(2)=12−12+1=1f'(2) = 12 - 12 + 1 = 1. (Distractorul 44 provine din eroarea (uv)′=u′v′=2x⋅1(uv)' = u'v' = 2x \cdot 1 la x=2x=2.)

Derivate #10

Calculati lim⁡x→0ex−1−xx2\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}.
  1. A. 00
  2. B. 12\dfrac{1}{2}
  3. C. 11
  4. D. 22
Rezolvare

Răspuns corect: B. 12\dfrac{1}{2}

Substitutia directa da 00\tfrac{0}{0}. Derivam numaratorul si numitorul: lim⁡x→0ex−12x\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x - 1}{2x} - tot 00\tfrac{0}{0}. Inca o data: lim⁡x→0ex2=12\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x}{2} = \dfrac{1}{2}.

Derivate #11

Fie f:[1,e2]→Rf:[1,e^2]\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x. Valoarea lui cc dată de teorema lui Lagrange pentru ff pe [1,e2][1,e^2] este:
  1. A. e2−1e^2-1
  2. B. e2+12\dfrac{e^2+1}{2}
  3. C. 2e2−1\dfrac{2}{e^2-1}
  4. D. e2−12\dfrac{e^2-1}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: D. e2−12\dfrac{e^2-1}{2}

Panta dreptei prin capete: f(e2)−f(1)e2−1=ln⁡(e2)−ln⁡1e2−1=2−0e2−1=2e2−1.\frac{f(e^2)-f(1)}{e^2-1} = \frac{\ln(e^2)-\ln 1}{e^2-1} = \frac{2-0}{e^2-1} = \frac{2}{e^2-1}. Rezolvăm f′(c)=2e2−1f'(c) = \dfrac{2}{e^2-1}, cu f′(x)=1xf'(x)=\dfrac1x: 1c=2e2−1  ⟹  c=e2−12.\frac{1}{c} = \frac{2}{e^2-1} \implies c = \frac{e^2-1}{2}. Verificare: c=e2−12≈3,19c=\dfrac{e^2-1}{2}\approx 3{,}19, care aparține lui (1,e2)≈(1,7,39)(1,e^2)\approx (1,7{,}39), deci este un cc valid. ✓

Derivate #12

lim⁡x→∞x+sin⁡xx=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x}=
  1. A. nu exista˘\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{există}
  2. B. 00
  3. C. 11
  4. D. +∞+\infty
Rezolvare

Răspuns corect: C. 11

Aplicând (naiv) L'Hôpital: x+sin⁡xx→1+cos⁡x1\dfrac{x+\sin x}{x} \to \dfrac{1+\cos x}{1}, iar cos⁡x\cos x oscilează la nesfârșit între −1-1 și 11 — limita derivatelor NU EXISTĂ. Regula lui L'Hôpital EȘUEAZĂ (este inconcludentă), deși limita inițială există. Metoda corectă: x+sin⁡xx=1+sin⁡xx\dfrac{x+\sin x}{x} = 1+\dfrac{\sin x}{x}, iar ∣sin⁡xx∣≤1x→0\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\le\dfrac1x\to0 când x→∞x\to\infty (teorema cleștelui). Deci limita este 11.
În aplicațieÎncă 76 exerciții cu derivateIntră în cont și continui direct de la derivate — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 11-a