pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 11-a

Exerciții rezolvate cu ecuații matriceale — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 44 exerciții rezolvate cu ecuații matriceale pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de ecuații matriceale.

Ecuații matriceale #1

Se dă ecuația matriceală I2⋅X=BI_2\cdot X=B, unde B=(2−134)B=\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}. Elementul de pe poziția (2,1)(2,1) al matricei XX este:
  1. A. 22
  2. B. 33
  3. C. −1-1
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: B. 33

Cum I2⋅X=XI_2\cdot X=X pentru orice matrice XX, ecuația I2X=BI_2X=B dă direct X=BX=B. Elementul de pe poziția (2,1)(2,1) al lui XX este deci elementul de pe poziția (2,1)(2,1) al lui BB, adică 33. Verificare: I2⋅B=(1001)(2−134)=(2−134)=BI_2\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}=B. ✓

Ecuații matriceale #2

Se dă ecuația matriceală AX=BAX=B, unde A=(2005)A=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix} și B=(6−41015)B=\begin{pmatrix}6&-4\\10&15\end{pmatrix}. Elementul de pe poziția (1,1)(1,1) al matricei XX este:
  1. A. 66
  2. B. 11
  3. C. 33
  4. D. 1212
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33

Cum AA este diagonală cu A−1=(120015)A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&0\\0&\frac15\end{pmatrix}, avem X=A−1BX=A^{-1}B, adică linia 11 a lui BB împărțită la 22 și linia 22 împărțită la 55: X=(6/2−4/210/515/5)=(3−223).X=\begin{pmatrix}6/2&-4/2\\10/5&15/5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-2\\2&3\end{pmatrix}. Elementul de pe poziția (1,1)(1,1) este 33. Verificare: A⋅X=(2005)(3−223)=(6−41015)=BA\cdot X=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-2\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&-4\\10&15\end{pmatrix}=B. ✓

Ecuații matriceale #3

Rezolvați AX=BAX = B unde A=(2003)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} și B=(46)B = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}. Soluția XX este:
  1. A. (23)\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}
  2. B. (22)\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}
  3. C. (46)\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}
  4. D. (818)\begin{pmatrix} 8 \\ 18 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: B. (22)\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}

A−1=(1/2001/3)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}. Deci X=(4/26/3)=(22)X = \begin{pmatrix} 4/2 \\ 6/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.

Ecuații matriceale #4

Pentru A=(1002)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} și B=(2468)B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}, rezolvați XA=BXA = B. Atunci XX este egal cu:
  1. A. (1234)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
  2. B. (2434)\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
  3. C. (2264)\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}
  4. D. (2162)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: C. (2264)\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}

A−1=(1001/2)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}. Deci X=B⋅A−1=(2⋅14⋅1/26⋅18⋅1/2)=(2264)X = B \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 4 \cdot 1/2 \\ 6 \cdot 1 & 8 \cdot 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}.

Ecuații matriceale #5

Se dau matricele A=(1201),B=(3412).A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}. Dacă XX este matricea care verifică AX=BAX=B, elementul de pe poziția (1,1)(1,1) al lui XX este:
  1. A. 33
  2. B. 00
  3. C. −2-2
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: D. 11

det⁡(A)=1\det(A)=1, iar A−1=(1−201)A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}. Atunci X=A−1B=(1−201)(3412)=(1⋅3+(−2)⋅11⋅4+(−2)⋅20⋅3+1⋅10⋅4+1⋅2)=(1012).X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot3+(-2)\cdot1&1\cdot4+(-2)\cdot2\\0\cdot3+1\cdot1&0\cdot4+1\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}. Elementul de pe poziția (1,1)(1,1) este 11. Verificare: AX=(1201)(1012)=(3412)=BAX=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}=B. ✓

Ecuații matriceale #6

Dacă AA este inversabilă, soluția ecuației matriceale AX=BAX=B este:
  1. A. X=BA−1X=BA^{-1}
  2. B. X=AB−1X=AB^{-1}
  3. C. X=A−1BX=A^{-1}B
  4. D. X=B−AX=B-A
Rezolvare

Răspuns corect: C. X=A−1BX=A^{-1}B

AX=B ∣⋅A−1 la staˆngaAX=B\ \Big|\cdot A^{-1}\ \text{la stânga} A−1A⏟IX=A−1B ⇒ X=A−1B.\underbrace{A^{-1}A}_{I}X=A^{-1}B\ \Rightarrow\ X=A^{-1}B. ✓ (BA−1BA^{-1} este soluția ecuației XA=BXA=B — altă ecuație, altă poziție a necunoscutei.)

Ecuații matriceale #7

Sistemul {2x+3y=7x−y=1\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} sub forma matriceală AX=BAX = B are AA egal cu:
  1. A. (231−1)\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
  2. B. (213−1)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}
  3. C. (71)\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}
  4. D. (2371)\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: A. (231−1)\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

A=(231−1)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} — coeficienții lui xx și yy din fiecare ecuație.

Ecuații matriceale #8

Se dau matricele A=(1213),B=(5134).A=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5&1\\3&4\end{pmatrix}. Dacă XX verifică XA=BXA=B, elementul de pe poziția (2,1)(2,1) al lui XX este:
  1. A. 2929
  2. B. 55
  3. C. 33
  4. D. −2-2
Rezolvare

Răspuns corect: B. 55

det⁡(A)=3−2=1\det(A)=3-2=1, deci A−1=(3−2−11)A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix}. Atunci X=BA−1=(5134)(3−2−11)=(5⋅3+1⋅(−1)5⋅(−2)+1⋅13⋅3+4⋅(−1)3⋅(−2)+4⋅1)=(14−95−2).X=BA^{-1}=\begin{pmatrix}5&1\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\cdot3+1\cdot(-1)&5\cdot(-2)+1\cdot1\\3\cdot3+4\cdot(-1)&3\cdot(-2)+4\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&-9\\5&-2\end{pmatrix}. Elementul de pe poziția (2,1)(2,1) este 55. Verificare: XA=(14−95−2)(1213)=(14−928−275−210−6)=(5134)=BXA=\begin{pmatrix}14&-9\\5&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14-9&28-27\\5-2&10-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\3&4\end{pmatrix}=B. (Cine ar calcula greșit AXAX în loc de XAXA ar obține pe poziția (2,1)(2,1) valoarea 2929, complet diferită.) ✓

Ecuații matriceale #9

Se dau matricele A=(1101),B=(2011),C=(5232).A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}5&2\\3&2\end{pmatrix}. Dacă XX verifică AXB=CAXB=C, elementul de pe poziția (2,1)(2,1) al lui XX este:
  1. A. 12\dfrac{1}{2}
  2. B. 11
  3. C. 00
  4. D. 22
Rezolvare

Răspuns corect: A. 12\dfrac{1}{2}

det⁡(A)=1⇒A−1=(1−101)\det(A)=1\Rightarrow A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}; det⁡(B)=2⇒B−1=12(10−12)\det(B)=2\Rightarrow B^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}1&0\\-1&2\end{pmatrix}. Calculăm întâi A−1CA^{-1}C: A−1C=(1−101)(5232)=(5−32−232)=(2032).A^{-1}C=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&2\\3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-3&2-2\\3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\3&2\end{pmatrix}. Apoi înmulțim cu B−1B^{-1}: X=(A−1C)B−1=(2032)⋅12(10−12)=12(2014)=(10122).X=(A^{-1}C)B^{-1}=\begin{pmatrix}2&0\\3&2\end{pmatrix}\cdot\frac12\begin{pmatrix}1&0\\-1&2\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\\tfrac12&2\end{pmatrix}. Elementul de pe poziția (2,1)(2,1) este 12\dfrac12. Verificare: AX=(1101)(10122)=(322122)AX=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\\tfrac12&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac32&2\\\tfrac12&2\end{pmatrix}, apoi (AX)B=(322122)(2011)=(3+221+22)=(5232)=C(AX)B=\begin{pmatrix}\tfrac32&2\\\tfrac12&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+2&2\\1+2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&2\\3&2\end{pmatrix}=C. ✓

Ecuații matriceale #10

Se dau matricele A=(2132)A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix} şi B=(5385)B=\begin{pmatrix}5&3\\8&5\end{pmatrix}. Fie XX matricea de ordinul 22 care verifică ecuaţia matriceală AX=BAX=B. Urma matricei XX (adică tr⁡(X)=X11+X22\operatorname{tr}(X)=X_{11}+X_{22}) este:
  1. A. 11
  2. B. 55
  3. C. 33
  4. D. −3-3
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33

det⁡(A)=2⋅2−1⋅3=1≠0\det(A)=2\cdot2-1\cdot3=1\ne0, deci AA este inversabilă şi ecuaţia are soluţie unică X=A−1BX=A^{-1}B. A−1=11(2−1−32)=(2−1−32).A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}. X=A−1B=(2−1−32)(5385)=(2⋅5−1⋅82⋅3−1⋅5−3⋅5+2⋅8−3⋅3+2⋅5)=(2111).X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&3\\8&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot5-1\cdot8&2\cdot3-1\cdot5\\-3\cdot5+2\cdot8&-3\cdot3+2\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}. Urma este tr⁡(X)=X11+X22=2+1=3.\operatorname{tr}(X)=X_{11}+X_{22}=2+1=3. Verificare: înmulţim înapoi, AX=(2132)(2111)=(2⋅2+1⋅12⋅1+1⋅13⋅2+2⋅13⋅1+2⋅1)=(5385)=BAX=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot2+1\cdot1&2\cdot1+1\cdot1\\3\cdot2+2\cdot1&3\cdot1+2\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\8&5\end{pmatrix}=B ✓, confirmă XX corect şi tr⁡(X)=3\operatorname{tr}(X)=3.

Ecuații matriceale #11

Soluția ecuației (1213) X=(1001)\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}\,X=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} este:
  1. A. (−321−1)\begin{pmatrix}-3 & 2\\ 1 & -1\end{pmatrix}
  2. B. (1213)\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}
  3. C. (3211)\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}
  4. D. (3−2−11)\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: D. (3−2−11)\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}

det⁡A=1⋅3−2⋅1=1,\det A=1\cdot 3-2\cdot 1=1, X=A−1=11(3−2−11)=(3−2−11).X=A^{-1}=\frac11\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}. ✓ Verificare: (1213)⋅(3−2−11)=(1001)=I2\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2 ✓

Ecuații matriceale #12

Fie A=(1101)A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} și B=(3121)B=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}. Dacă XX verifică XA2=BXA^2=B, elementul de pe poziția (1,2)(1,2) al lui XX este:
  1. A. 66
  2. B. −3-3
  3. C. 22
  4. D. −5-5
Rezolvare

Răspuns corect: D. −5-5

A2=(1201)A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, cu det⁡(A2)=1\det(A^2)=1, deci (A2)−1=(1−201)(A^2)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}. Atunci X=B(A2)−1=(3121)(1−201)=(3−6+12−4+1)=(3−52−3).X=B(A^2)^{-1}=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-6+1\\2&-4+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5\\2&-3\end{pmatrix}. Elementul de pe poziția (1,2)(1,2) este −5-5. Verificare: XA2=(3−52−3)(1201)=(36−524−3)=(3121)=BXA^2=\begin{pmatrix}3&-5\\2&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6-5\\2&4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}=B ✓.
În aplicațieÎncă 32 exerciții cu ecuații matricealeIntră în cont și continui direct de la ecuații matriceale — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 11-a