pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 11-a

Exerciții rezolvate cu ecuații matriceale — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 51 exerciții rezolvate cu ecuații matriceale pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de ecuații matriceale.

Ecuații matriceale #1

Inversa matricei A=(1002)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} este:
  1. A. (−100−2)\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}
  2. B. (1002)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
  3. C. (1001/2)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}
  4. D. (0120)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: C. (1001/2)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}

A−1=(1001/2)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} — verificați că A⋅A−1=I2A \cdot A^{-1} = I_2.

Ecuații matriceale #2

Inversa matricei (2153)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} este:
  1. A. (3−1−52)\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}
  2. B. (3152)\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}
  3. C. (2−1−53)\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}
  4. D. 12(3−1−52)\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: A. (3−1−52)\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}

det⁡=6−5=1\det = 6 - 5 = 1. Inversa: (3−1−52)\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}.

Ecuații matriceale #3

Rezolvați AX=BAX = B unde A=(2003)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} și B=(46)B = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}. Soluția XX este:
  1. A. (23)\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}
  2. B. (22)\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}
  3. C. (46)\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}
  4. D. (818)\begin{pmatrix} 8 \\ 18 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: B. (22)\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}

A−1=(1/2001/3)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}. Deci X=(4/26/3)=(22)X = \begin{pmatrix} 4/2 \\ 6/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.

Ecuații matriceale #4

Pentru A=(1002)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} și B=(2468)B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}, rezolvați XA=BXA = B. Atunci XX este egal cu:
  1. A. (1234)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
  2. B. (2434)\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
  3. C. (2264)\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}
  4. D. (2162)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: C. (2264)\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}

A−1=(1001/2)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}. Deci X=B⋅A−1=(2⋅14⋅1/26⋅18⋅1/2)=(2264)X = B \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 4 \cdot 1/2 \\ 6 \cdot 1 & 8 \cdot 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}.

Ecuații matriceale #5

Pentru ce valoare m∈Rm \in \mathbb{R} matricea A=(m23m+1)A = \begin{pmatrix} m & 2 \\ 3 & m + 1 \end{pmatrix} NU este inversabilă?
  1. A. {2}\{2\}
  2. B. {−2}\{-2\}
  3. C. {−3,2}\{-3, 2\}
  4. D. {0}\{0\}
Rezolvare

Răspuns corect: C. {−3,2}\{-3, 2\}

det⁡A=m(m+1)−6=m2+m−6=(m−2)(m+3)=0⇒m∈{−3,2}\det A = m(m + 1) - 6 = m^2 + m - 6 = (m - 2)(m + 3) = 0 \Rightarrow m \in \{-3, 2\}.

Ecuații matriceale #6

Pentru matrice inversabile A,BA, B, inversa lui ABAB este egală cu:
  1. A. A−1B−1A^{-1} B^{-1}
  2. B. AB−1A B^{-1}
  3. C. B−1A−1B^{-1} A^{-1}
  4. D. (AB)T(A B)^T
Rezolvare

Răspuns corect: C. B−1A−1B^{-1} A^{-1}

(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AIA−1=I(AB)(B^{-1} A^{-1}) = A(B B^{-1}) A^{-1} = A I A^{-1} = I. Deci (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}.

Ecuații matriceale #7

Inversa matricei de rotație R(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} este:
  1. A. R(θ)R(\theta)
  2. B. R(2θ)R(2\theta)
  3. C. R(−θ)R(-\theta)
  4. D. R(π−θ)R(\pi - \theta)
Rezolvare

Răspuns corect: C. R(−θ)R(-\theta)

R(θ)R(−θ)=I2R(\theta) R(-\theta) = I_2, deci R(θ)−1=R(−θ)R(\theta)^{-1} = R(-\theta).

Ecuații matriceale #8

Pentru A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, matricea A2A^2 este egală cu:
  1. A. AA
  2. B. I2I_2
  3. C. (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
  4. D. (0110)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: C. (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

A2=(0⋅0+1⋅00⋅1+1⋅00⋅0+0⋅00⋅1+0⋅0)=(0000)A^2 = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. (AA este nilpotentă.)

Ecuații matriceale #9

Sistemul {2x+3y=7x−y=1\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} sub forma matriceală AX=BAX = B are AA egal cu:
  1. A. (231−1)\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
  2. B. (213−1)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}
  3. C. (71)\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}
  4. D. (2371)\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: A. (231−1)\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

A=(231−1)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} — coeficienții lui xx și yy din fiecare ecuație.

Ecuații matriceale #10

Se dau matricele A=(2132)A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix} şi B=(5385)B=\begin{pmatrix}5&3\\8&5\end{pmatrix}. Fie XX matricea de ordinul 22 care verifică ecuaţia matriceală AX=BAX=B. Urma matricei XX (adică tr⁡(X)=X11+X22\operatorname{tr}(X)=X_{11}+X_{22}) este:
  1. A. 11
  2. B. 55
  3. C. 33
  4. D. −3-3
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33

det⁡(A)=2⋅2−1⋅3=1≠0\det(A)=2\cdot2-1\cdot3=1\ne0, deci AA este inversabilă şi ecuaţia are soluţie unică X=A−1BX=A^{-1}B. A−1=11(2−1−32)=(2−1−32).A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}. X=A−1B=(2−1−32)(5385)=(2⋅5−1⋅82⋅3−1⋅5−3⋅5+2⋅8−3⋅3+2⋅5)=(2111).X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&3\\8&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot5-1\cdot8&2\cdot3-1\cdot5\\-3\cdot5+2\cdot8&-3\cdot3+2\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}. Urma este tr⁡(X)=X11+X22=2+1=3.\operatorname{tr}(X)=X_{11}+X_{22}=2+1=3. Verificare: înmulţim înapoi, AX=(2132)(2111)=(2⋅2+1⋅12⋅1+1⋅13⋅2+2⋅13⋅1+2⋅1)=(5385)=BAX=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot2+1\cdot1&2\cdot1+1\cdot1\\3\cdot2+2\cdot1&3\cdot1+2\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\8&5\end{pmatrix}=B ✓, confirmă XX corect şi tr⁡(X)=3\operatorname{tr}(X)=3.

Ecuații matriceale #11

Soluția ecuației (1213) X=(1001)\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}\,X=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} este:
  1. A. (−321−1)\begin{pmatrix}-3 & 2\\ 1 & -1\end{pmatrix}
  2. B. (1213)\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}
  3. C. (3211)\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}
  4. D. (3−2−11)\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: D. (3−2−11)\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}

det⁡A=1⋅3−2⋅1=1,\det A=1\cdot 3-2\cdot 1=1, X=A−1=11(3−2−11)=(3−2−11).X=A^{-1}=\frac11\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}. ✓ Verificare: (1213)⋅(3−2−11)=(1001)=I2\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2 ✓

Ecuații matriceale #12

Fie A=(1101)A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} și B=(3121)B=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}. Dacă XX verifică XA2=BXA^2=B, elementul de pe poziția (1,2)(1,2) al lui XX este:
  1. A. 66
  2. B. −3-3
  3. C. 22
  4. D. −5-5
Rezolvare

Răspuns corect: D. −5-5

A2=(1201)A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, cu det⁡(A2)=1\det(A^2)=1, deci (A2)−1=(1−201)(A^2)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}. Atunci X=B(A2)−1=(3121)(1−201)=(3−6+12−4+1)=(3−52−3).X=B(A^2)^{-1}=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-6+1\\2&-4+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5\\2&-3\end{pmatrix}. Elementul de pe poziția (1,2)(1,2) este −5-5. Verificare: XA2=(3−52−3)(1201)=(36−524−3)=(3121)=BXA^2=\begin{pmatrix}3&-5\\2&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6-5\\2&4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}=B ✓.
În aplicațieÎncă 39 exerciții cu ecuații matricealeIntră în cont și continui direct de la ecuații matriceale — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 11-a