pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 11-a

Exerciții rezolvate cu funcții trigonometrice inverse — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 60 exerciții rezolvate cu funcții trigonometrice inverse pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de funcții trigonometrice inverse.

Funcții trigonometrice inverse #1

Valoarea lui arccos⁡1\arccos 1 este:
  1. A. π2\dfrac\pi2
  2. B. π\pi
  3. C. 00
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: C. 00

cos⁡0=1 ⇒ arccos⁡1=0.\cos 0=1\ \Rightarrow\ \arccos 1=0. ✓ Este valoarea minimă a arccosinusului, atinsă în capătul x=1x=1.

Funcții trigonometrice inverse #2

Valoarea lui arccos⁡0\arccos 0 este:
  1. A. π2\dfrac\pi2
  2. B. π\pi
  3. C. 11
  4. D. 00
Rezolvare

Răspuns corect: A. π2\dfrac\pi2

arccos⁡0=π2.\arccos 0=\frac\pi2. ✓ Coincide cu arcsin⁡1\arcsin 1 — nu întâmplător: arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x+\arccos x=\dfrac\pi2 pentru orice xx.

Funcții trigonometrice inverse #3

Valoarea lui arccos⁡(−1)\arccos(-1) este:
  1. A. π\pi
  2. B. −π2-\dfrac\pi2
  3. C. 00
  4. D. −π-\pi
Rezolvare

Răspuns corect: A. π\pi

arccos⁡(−1)=π.\arccos(-1)=\pi. ✓ Este valoarea maximă a arccosinusului. Observă că, spre deosebire de arcsinus, arccosinusul nu ia valori negative.

Funcții trigonometrice inverse #4

Valoarea lui arccos⁡12\arccos\dfrac12 este:
  1. A. π6\dfrac\pi6
  2. B. 2π3\dfrac{2\pi}{3}
  3. C. π3\dfrac\pi3
  4. D. π4\dfrac\pi4
Rezolvare

Răspuns corect: C. π3\dfrac\pi3

arccos⁡12=π3.\arccos\frac12=\frac\pi3. ✓ Verificare cu relația complementară: arcsin⁡12+arccos⁡12=π6+π3=π2\arcsin\dfrac12+\arccos\dfrac12=\dfrac\pi6+\dfrac\pi3=\dfrac\pi2 ✓

Funcții trigonometrice inverse #5

Calculați arcsin⁡ ⁣(32)+arccos⁡ ⁣(32)\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
  1. A. 00
  2. B. π6\dfrac{\pi}{6}
  3. C. π4\dfrac{\pi}{4}
  4. D. π3\dfrac{\pi}{3}
  5. E. π2\dfrac{\pi}{2}
  6. F. π\pi
Rezolvare

Răspuns corect: E. π2\dfrac{\pi}{2}

Conform identității complementare, arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2} pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1]. Cu x=3/2x = \sqrt{3}/2, suma este π2\dfrac{\pi}{2}.

Funcții trigonometrice inverse #6

Calculați arctg⁡(1)+arctg⁡(3)\arctg(1) + \arctg(\sqrt{3}).
  1. A. π6\dfrac{\pi}{6}
  2. B. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. C. π3\dfrac{\pi}{3}
  4. D. 7π12\dfrac{7\pi}{12}
  5. E. 2π3\dfrac{2\pi}{3}
  6. F. 3π4\dfrac{3\pi}{4}
Rezolvare

Răspuns corect: D. 7π12\dfrac{7\pi}{12}

arctg⁡(1)=π4\arctg(1) = \dfrac{\pi}{4} și arctg⁡(3)=π3\arctg(\sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{3}. Suma este π4+π3=3π12+4π12=7π12\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{12} + \dfrac{4\pi}{12} = \dfrac{7\pi}{12}.

Funcții trigonometrice inverse #7

Calculați arccos⁡ ⁣(sin⁡2π3)\arccos\!\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}\right).
  1. A. π6\dfrac{\pi}{6}
  2. B. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. C. π3\dfrac{\pi}{3}
  4. D. π2\dfrac{\pi}{2}
  5. E. 2π3\dfrac{2\pi}{3}
  6. F. 5π6\dfrac{5\pi}{6}
Rezolvare

Răspuns corect: A. π6\dfrac{\pi}{6}

sin⁡ ⁣(2π3)=sin⁡ ⁣(π−π3)=sin⁡ ⁣(π3)=32\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Deci arccos⁡ ⁣(32)=π6\arccos\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{6}.

Funcții trigonometrice inverse #8

Valoarea lui arccos⁡(cos⁡4π3)\arccos\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}\right) este:
  1. A. 2π3\dfrac{2\pi}{3}
  2. B. −2π3-\dfrac{2\pi}{3}
  3. C. π3\dfrac\pi3
  4. D. 4π3\dfrac{4\pi}{3}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 2π3\dfrac{2\pi}{3}

cos⁡4π3=−12 ⇒ arccos⁡(−12)=2π3.\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12\ \Rightarrow\ \arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}. ✓ Cum 4π3∉[0,π]\dfrac{4\pi}{3}\notin[0,\pi], egalitatea arccos⁡(cos⁡x)=x\arccos(\cos x)=x nu se aplică. Rezultatul corect este 2π−4π3=2π32\pi-\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}.

Funcții trigonometrice inverse #9

Valoarea lui sin⁡(arccos⁡35)\sin\left(\arccos\dfrac35\right) este:
  1. A. 35\dfrac35
  2. B. −45-\dfrac45
  3. C. 1625\dfrac{16}{25}
  4. D. 45\dfrac45
Rezolvare

Răspuns corect: D. 45\dfrac45

Fie t=arccos⁡35t=\arccos\dfrac35, deci cos⁡t=35\cos t=\dfrac35 și t∈[0,π]t\in[0,\pi]. sin⁡2t=1−925=1625 ⇒ sin⁡t=45,\sin^2t=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\ \Rightarrow\ \sin t=\frac45, rădăcina pozitivă fiind cea corectă, fiindcă pe [0,π][0,\pi] sinusul este ≥0\ge 0. ✓ Formula generală: sin⁡(arccos⁡x)=1−x2\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}.

Funcții trigonometrice inverse #10

Valoarea lui cos⁡(arcsin⁡35)\cos\left(\arcsin\dfrac35\right) este:
  1. A. 35\dfrac35
  2. B. −45-\dfrac45
  3. C. 1625\dfrac{16}{25}
  4. D. 45\dfrac45
Rezolvare

Răspuns corect: D. 45\dfrac45

Fie t=arcsin⁡35t=\arcsin\dfrac35, deci sin⁡t=35\sin t=\dfrac35 și t∈[−π2,π2]t\in\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]. cos⁡2t=1−925=1625 ⇒ cos⁡t=45,\cos^2t=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\ \Rightarrow\ \cos t=\frac45, rădăcina pozitivă fiind cea corectă, fiindcă pe codomeniul arcsinusului cosinusul este ≥0\ge 0. ✓ Formula generală: cos⁡(arcsin⁡x)=1−x2\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}.

Funcții trigonometrice inverse #11

Funcția f:[−1,1]→[−π2,π2]f:[-1,1]\to\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right], f(x)=arcsin⁡xf(x)=\arcsin x, este:
  1. A. strict descresca˘toare\text{strict}\text{ }\allowbreak{}\text{descrescătoare}
  2. B. constanta˘\text{constantă}
  3. C. strict cresca˘toare\text{strict}\text{ }\allowbreak{}\text{crescătoare}
  4. D. cresca˘toare doar pe [0,1]\text{crescătoare}\text{ }\allowbreak{}\text{doar}\text{ }\allowbreak{}\text{pe}\text{ }\allowbreak{}[0,1]
Rezolvare

Răspuns corect: C. strict cresca˘toare\text{strict}\text{ }\allowbreak{}\text{crescătoare}

Pe [−π2,π2]\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right] sinusul este strict crescător, deci și inversa lui este strict crescătoare. ✓ Confirmare prin derivată: (arcsin⁡x)′=11−x2>0pe (−1,1).(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}>0\quad\text{pe }(-1,1). ✓ (Arccosinusul, prin contrast, este strict descrescător.)

Funcții trigonometrice inverse #12

Pentru orice x∈Rx\in\mathbb R, valoarea lui tg⁡(arctg⁡x)\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x) este:
  1. A. x doar pentru ∣x∣≤1x\text{ }\allowbreak{}\text{doar}\text{ }\allowbreak{}\text{pentru}\text{ }\allowbreak{}|x|\le 1
  2. B. 1x\dfrac1x
  3. C. xx
  4. D. arctg⁡x\operatorname{arctg}x
Rezolvare

Răspuns corect: C. xx

tg⁡(arctg⁡x)=xpentru orice x∈R.\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x)=x\qquad\text{pentru orice }x\in\mathbb R. ✓ Spre deosebire de sin⁡(arcsin⁡x)\sin(\arcsin x), unde xx trebuie să fie în [−1,1][-1,1], aici nu există nicio restricție — arctangenta este definită pe tot R\mathbb R.
În aplicațieÎncă 48 exerciții cu funcții trigonometrice inverseIntră în cont și continui direct de la funcții trigonometrice inverse — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 11-a