pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 11-a

Exerciții rezolvate cu limite de funcții — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 76 exerciții rezolvate cu limite de funcții pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de limite de funcții.

Limite de funcții #1

Limita lim⁡x→2(x2+3x−1)\displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1) este egală cu:
  1. A. 11
  2. B. 55
  3. C. 99
  4. D. 1111
Rezolvare

Răspuns corect: C. 99

Pentru polinoame, substituim direct: 4+6−1=94 + 6 - 1 = 9.

Limite de funcții #2

Limita lim⁡x→1x2+1x+2\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 1}{x + 2} este egală cu:
  1. A. 13\dfrac{1}{3}
  2. B. 23\dfrac{2}{3}
  3. C. 11
  4. D. 43\dfrac{4}{3}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 23\dfrac{2}{3}

Substituim: 1+11+2=23\dfrac{1 + 1}{1 + 2} = \dfrac{2}{3}.

Limite de funcții #3

Limita remarcabilă lim⁡x→0sin⁡xx\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. π2\dfrac{\pi}{2}
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: B. 11

O limită remarcabilă standard: lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1.

Limite de funcții #4

Limita lim⁡x→01−cos⁡xx2\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 12\dfrac{1}{2}
  3. C. 11
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: B. 12\dfrac{1}{2}

1−cos⁡xx2=2sin⁡2(x/2)x2=12⋅ ⁣(sin⁡(x/2)x/2)2→12\dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \dfrac{1}{2} \cdot \!\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 \to \dfrac{1}{2}.

Limite de funcții #5

Limita lim⁡x→0ex−1x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. ee
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: B. 11

O limită remarcabilă standard: lim⁡x→0ex−1x=1\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1.

Limite de funcții #6

Limita lim⁡x→0ln⁡(1+x)x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. ln⁡2\ln 2
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: B. 11

O limită remarcabilă standard: lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} = 1.

Limite de funcții #7

Limita lim⁡x→1x3−3x+2x−1\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 3x + 2}{x - 1} este egală cu (aplicând Bézout / factorizare):
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 33
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: A. 00

x3−3x+2=(x−1)(x2+x−2)=(x−1)(x−1)(x+2)=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2 (x + 2). Deci (x−1)2(x+2)x−1=(x−1)(x+2)→0\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x - 1} = (x - 1)(x + 2) \to 0 când x→1x \to 1.

Limite de funcții #8

Limita lim⁡x→0(1+x)r−1x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(1 + x)^r - 1}{x} este egală cu (pentru r∈Rr \in \mathbb{R}):
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. rr
  4. D. r+1r + 1
Rezolvare

Răspuns corect: C. rr

lim⁡x→0(1+x)r−1x=r\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^r - 1}{x} = r. (Aceasta generalizează derivata binomială în zero.)

Limite de funcții #9

Calculati lim⁡x→01−cos⁡(x)x2\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{1 - \cos(x)}{x^2}.
  1. A. 00
  2. B. 14\dfrac{1}{4}
  3. C. 12\dfrac{1}{2}
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: C. 12\dfrac{1}{2}

Folosind 1−cos⁡x=2sin⁡2(x/2)1-\cos x = 2\sin^2(x/2): lim⁡x→02sin⁡2(x/2)x2=12lim⁡x→0(sin⁡(x/2)x/2)2=12⋅1=12\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \dfrac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 = \dfrac{1}{2}\cdot 1 = \dfrac{1}{2}.

Limite de funcții #10

Valoarea limitei lim⁡x→0x−sin⁡xx3\lim_{x\to0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} este:
  1. A. 00
  2. B. 13\dfrac13
  3. C. 16\dfrac16
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: C. 16\dfrac16

Din dezvoltarea Taylor, sin⁡x=x−x36+x5120−⋯\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots, deci x−sin⁡x=x36−x5120+⋯ .x-\sin x = \frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{120}+\cdots. Împărțind prin x3x^3: x−sin⁡xx3=16−x2120+⋯→x→016.\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac16-\frac{x^2}{120}+\cdots\xrightarrow[x\to0]{}\frac16. (Echivalent, aplicând L'Hôpital de trei ori pe forma 0/00/0: 1−cos⁡x3x2→sin⁡x6x→cos⁡x6→16\dfrac{1-\cos x}{3x^2}\to\dfrac{\sin x}{6x}\to\dfrac{\cos x}{6}\to\dfrac16.) Verificare numerică: la x=0,01x=0{,}01, x−sin⁡xx3≈0,166667\dfrac{x-\sin x}{x^3}\approx0{,}166667. ✓

Limite de funcții #11

Valoarea limitei lim⁡x→0(1+x)1/x−ex\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{1/x}-e}{x} este:
  1. A. e2\dfrac{e}{2}
  2. B. ee
  3. C. −e-e
  4. D. −e2-\dfrac{e}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: D. −e2-\dfrac{e}{2}

Notăm f(x)=(1+x)1/x=eg(x)f(x)=(1+x)^{1/x}=e^{g(x)}, unde g(x)=ln⁡(1+x)xg(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}. Din ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots, obținem g(x)=1−x2+x23−⋯ .g(x)=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\cdots. Atunci f(x)=eg(x)=e⋅eg(x)−1f(x)=e^{g(x)}=e\cdot e^{g(x)-1}, cu g(x)−1=−x2+x23−⋯→0g(x)-1=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}-\cdots\to0. Folosind eu≈1+u+⋯e^{u}\approx1+u+\cdots pentru u=g(x)−1→0u=g(x)-1\to0: f(x)≈e(1−x2+⋯ )=e−e2x+⋯ .f(x)\approx e\left(1-\frac{x}{2}+\cdots\right)=e-\frac{e}{2}x+\cdots. Deci f(x)−ex≈−e2+⋯→x→0−e2.\frac{f(x)-e}{x}\approx-\frac{e}{2}+\cdots\xrightarrow[x\to0]{}-\frac{e}{2}. (Echivalent: cum ff se prelungește continuu în 00 cu f(0)=ef(0)=e, raportul este exact rata de variație f′(0)f'(0), calculabilă și prin L'Hôpital pe forma 0/00/0.) Verificare numerică: la x=0,0001x=0{,}0001, (1,0001)10000−e0,0001≈−1,35902\dfrac{(1{,}0001)^{10000}-e}{0{,}0001}\approx-1{,}35902, aproape de −e2≈−1,35914-\dfrac{e}{2}\approx-1{,}35914. ✓

Limite de funcții #12

Valoarea limitei lim⁡x→01−cos⁡xcos⁡(2x)cos⁡(3x)x2\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x\cos(2x)\cos(3x)}{x^2} este:
  1. A. 77
  2. B. 1414
  3. C. 66
  4. D. 12\dfrac12
Rezolvare

Răspuns corect: A. 77

Fie a=cos⁡xa=\cos x, b=cos⁡2xb=\cos2x, c=cos⁡3xc=\cos3x. Identitatea algebrică 1−abc=(1−a)+a(1−b)+ab(1−c)1-abc=(1-a)+a(1-b)+ab(1-c) descompune produsul într-o sumă telescopată. Împărțind prin x2x^2: 1−abcx2=1−ax2+a⋅1−bx2+ab⋅1−cx2.\frac{1-abc}{x^2}=\frac{1-a}{x^2}+a\cdot\frac{1-b}{x^2}+ab\cdot\frac{1-c}{x^2}. Când x→0x\to0: a→1a\to1, b→1b\to1, deci a→1a\to1 și ab→1ab\to1. Folosind limita notabilă 1−cos⁡(kx)x2→k22\dfrac{1-\cos(kx)}{x^2}\to\dfrac{k^2}{2} pentru k=1,2,3k=1,2,3: 1−ax2→122=12,1−bx2→222=2,1−cx2→322=92.\frac{1-a}{x^2}\to\frac{1^2}{2}=\frac12,\qquad \frac{1-b}{x^2}\to\frac{2^2}{2}=2,\qquad \frac{1-c}{x^2}\to\frac{3^2}{2}=\frac92. Deci limita totală este 12+1⋅2+1⋅92=12+2+92=1+4+92=142=7.\frac12+1\cdot2+1\cdot\frac92=\frac12+2+\frac92=\frac{1+4+9}{2}=\frac{14}{2}=7. (Formula generală: lim⁡x→01−cos⁡(a1x)⋯cos⁡(anx)x2=a12+⋯+an22\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(a_1x)\cdots\cos(a_nx)}{x^2}=\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{2} — aici 12+22+322=7\dfrac{1^2+2^2+3^2}{2}=7.) Verificare numerică: la x=0,001x=0{,}001, 1−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3xx2≈6,999984\dfrac{1-\cos x\cos2x\cos3x}{x^2}\approx6{,}999984, aproape de 77. ✓
În aplicațieÎncă 64 exerciții cu limite de funcțiiIntră în cont și continui direct de la limite de funcții — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 11-a