pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 11-a

Exerciții rezolvate cu limite de șiruri — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 142 exerciții rezolvate cu limite de șiruri pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de limite de șiruri.

Limite de șiruri #1

Limita lim⁡n→∞1n\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. ∞\infty
  4. D. nu exista˘\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{există}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 00

Când n→∞n \to \infty, 1n→0\dfrac{1}{n} \to 0.

Limite de șiruri #2

Limita lim⁡n→∞ ⁣(12)n\displaystyle\lim_{n \to \infty} \!\left(\dfrac{1}{2}\right)^n este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 12\dfrac{1}{2}
  3. C. 11
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: A. 00

 ⁣(12)n→0\!\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0 deoarece ∣q∣=12<1|q| = \dfrac{1}{2} < 1.

Limite de șiruri #3

Limita lim⁡n→∞3n2+52n2−1\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 + 5}{2n^2 - 1} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 32\dfrac{3}{2}
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: C. 32\dfrac{3}{2}

3n2+52n2−1=3+5/n22−1/n2→32\dfrac{3n^2 + 5}{2n^2 - 1} = \dfrac{3 + 5/n^2}{2 - 1/n^2} \to \dfrac{3}{2}.

Limite de șiruri #4

Limita lim⁡n→∞n+1n2+3\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{n + 1}{n^2 + 3} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 13\dfrac{1}{3}
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: A. 00

n+1n2+3=1/n+1/n21+3/n2→01=0\dfrac{n + 1}{n^2 + 3} = \dfrac{1/n + 1/n^2}{1 + 3/n^2} \to \dfrac{0}{1} = 0.

Limite de șiruri #5

Limita lim⁡n→∞sin⁡nn\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sin n}{n} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 1n\dfrac{1}{n}
  4. D. nu exista˘\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{există}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 00

Prin criteriul cleștar, −1n≤sin⁡nn≤1n-\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac{1}{n} și ambele margini tind la 00, deci limita este 00.

Limite de șiruri #6

Limita lim⁡n→∞ ⁣(1+1n)n\displaystyle\lim_{n \to \infty} \!\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. ee
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: C. ee

Aceasta este definiția standard a lui ee:  ⁣(1+1n)n→e\!\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \to e.

Limite de șiruri #7

Limita lim⁡n→∞ ⁣(n+1−n)\displaystyle\lim_{n \to \infty} \!\left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\right) este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 12\dfrac{1}{2}
  3. C. 11
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: A. 00

n+1−n=1n+1+n→0\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \to 0.

Limite de șiruri #8

Limita lim⁡n→∞ ⁣(1+2n)n\displaystyle\lim_{n \to \infty} \!\left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^n este egală cu:
  1. A. 11
  2. B. ee
  3. C. e2e^2
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: C. e2e^2

Cu a=2a = 2:  ⁣(1+2n)n→e2\!\left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^n \to e^2.

Limite de șiruri #9

Valoarea limitei lim⁡n→∞13+23+⋯+n3n4\lim_{n\to\infty}\frac{1^3+2^3+\cdots+n^3}{n^4} este:
  1. A. 13\dfrac{1}{3}
  2. B. 11
  3. C. 12\dfrac{1}{2}
  4. D. 14\dfrac{1}{4}
Rezolvare

Răspuns corect: D. 14\dfrac{1}{4}

Notăm an=13+23+⋯+n3a_n=1^3+2^3+\cdots+n^3 și bn=n4b_n=n^4, strict crescător și nemărginit. Prin Cesàro–Stolz: lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞an+1−anbn+1−bn=lim⁡n→∞(n+1)3(n+1)4−n4.\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3}{(n+1)^4-n^4}. Dezvoltăm numitorul: (n+1)4−n4=4n3+6n2+4n+1(n+1)^4-n^4 = 4n^3+6n^2+4n+1. Deci lim⁡n→∞(n+1)34n3+6n2+4n+1=14\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3}{4n^3+6n^2+4n+1} = \frac14 (raportul termenilor dominanți de grad 33). Verificare prin formula închisă 13+⋯+n3=[n(n+1)2]21^3+\cdots+n^3=\left[\tfrac{n(n+1)}2\right]^2: la n=1000n=1000, an=(500500)2a_n=(500500)^2, iar an/n4≈0,2505a_n/n^4 \approx 0{,}2505, aproape de 14\dfrac14. ✓

Limite de șiruri #10

Valoarea limitei lim⁡n→∞(n+1n−1)n\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n este:
  1. A. ee
  2. B. e3e^3
  3. C. e2e^2
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: C. e2e^2

Rescriem baza: n+1n−1=1+2n−1.\frac{n+1}{n-1} = 1+\frac{2}{n-1}. Notăm m=n−1→∞m=n-1\to\infty (deci n=m+1n=m+1): (1+2m)m+1=(1+2m)m⋅(1+2m).\left(1+\frac2{m}\right)^{m+1} = \left(1+\frac2m\right)^{m}\cdot\left(1+\frac2m\right). Primul factor →e2\to e^2 (limita fundamentală generalizată), iar al doilea factor →1\to 1. Deci lim⁡n→∞(n+1n−1)n=e2⋅1=e2.\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n = e^2\cdot 1 = e^2. Verificare: la n=1000n=1000, (1001999)1000≈7,3891\left(\dfrac{1001}{999}\right)^{1000}\approx 7{,}3891, aproape de e2≈7,3891e^2\approx 7{,}3891. ✓

Limite de șiruri #11

Șirul (xn)n≥1(x_n)_{n\ge1} este definit prin x1=2x_1=2 și xn+1=12(xn+3xn)x_{n+1}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac3{x_n}\right). Valoarea limitei sale este:
  1. A. 32\dfrac{3}{2}
  2. B. 22
  3. C. 33
  4. D. 3\sqrt3
Rezolvare

Răspuns corect: D. 3\sqrt3

Mărginire (AM–GM): pentru orice x>0x>0, x+3x≥23x+\dfrac3x\ge2\sqrt3 (media aritmetică ≥\ge media geometrică), deci xn+1=12(xn+3xn)≥3pentru orice n≥1.x_{n+1} = \frac12\left(x_n+\frac3{x_n}\right) \ge \sqrt3 \quad\text{pentru orice } n\ge1. Monotonie: pentru xn≥3x_n\ge\sqrt3, xn+1−xn=3−xn22xn≤0,x_{n+1}-x_n = \frac{3-x_n^2}{2x_n} \le 0, deci șirul este descrescător (începând cu n≥2n\ge2) și mărginit inferior de 3\sqrt3 ⇒ convergent. Trecând la limită LL în recurență: L=12(L+3L)  ⟹  2L2=L2+3  ⟹  L2=3  ⟹  L=3L = \frac12\left(L+\frac3L\right) \implies 2L^2 = L^2+3 \implies L^2=3 \implies L=\sqrt3 (rădăcina pozitivă, deoarece xn>0x_n>0). Verificare: x1=2x_1=2, x2=1,75x_2=1{,}75, x3≈1,73214x_3\approx 1{,}73214, x4≈1,732051x_4\approx 1{,}732051, x5≈1,7320508=3x_5\approx 1{,}7320508=\sqrt3 (convergență foarte rapidă — metoda lui Newton). ✓

Limite de șiruri #12

Valoarea limitei lim⁡n→∞∏k=2n(1−1k2)\displaystyle\lim_{n \to \infty} \prod_{k=2}^{n} \left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) este:
  1. A. 12\dfrac{1}{2}
  2. B. 00
  3. C. 11
  4. D. 34\dfrac{3}{4}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 12\dfrac{1}{2}

Descompunem fiecare factor: 1−1k2=(k−1)(k+1)k2=k−1k⋅k+1k1-\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\dfrac{k-1}{k}\cdot\dfrac{k+1}{k}. Produsul se separă astfel: ∏k=2n(1−1k2)=(∏k=2nk−1k)(∏k=2nk+1k).\prod_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k^2}\right)=\left(\prod_{k=2}^{n}\dfrac{k-1}{k}\right)\left(\prod_{k=2}^{n}\dfrac{k+1}{k}\right). Primul produs telescopează: 12⋅23⋯n−1n=1n\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdots\dfrac{n-1}{n}=\dfrac{1}{n}. Al doilea produs telescopează: 32⋅43⋯n+1n=n+12\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdots\dfrac{n+1}{n}=\dfrac{n+1}{2}. Deci, pentru orice n≥2n\ge 2: ∏k=2n(1−1k2)=1n⋅n+12=n+12n.\prod_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k^2}\right)=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{n+1}{2}=\dfrac{n+1}{2n}. Verificare numerică pentru n=4n=4: produsul direct este 34⋅89⋅1516=58\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{15}{16}=\dfrac{5}{8}, iar formula dă n+12n=58\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{5}{8} — coincid. Trecând la limită: lim⁡n→∞n+12n=12.\lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{1}{2}.
În aplicațieÎncă 130 exerciții cu limite de șiruriIntră în cont și continui direct de la limite de șiruri — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 11-a