pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 11-a

Exerciții rezolvate cu logaritmi — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu logaritmi pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de logaritmi.

Logaritmi #1

Mulțimea soluțiilor inecuației log⁡2(x−3)>2\log_2(x - 3) > 2 este:
  1. A. (7,+∞)(7, +\infty)
  2. B. [7,+∞)[7, +\infty)
  3. C. (3,+∞)(3, +\infty)
  4. D. (3,7)(3, 7)
Rezolvare

Răspuns corect: A. (7,+∞)(7, +\infty)

Condiția de existență a logaritmului impune x−3>0x - 3 > 0, adică x>3x > 3. Deoarece baza 2>12 > 1, funcția logaritmică este strict crescătoare, deci inegalitatea log⁡2(x−3)>2\log_2(x - 3) > 2 este echivalentă cu x−3>22=4x - 3 > 2^2 = 4 Rezolvând: x>7x > 7 Condiția x>7x > 7 implică automat x>3x > 3, deci nu există restricții suplimentare. Mulțimea soluțiilor este: (7,+∞)(7, +\infty)

Logaritmi #2

Mulțimea soluțiilor inecuației lg⁡(2x+3)<1\lg(2x + 3) < 1 este:
  1. A. (−32, 72)\left(-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{7}{2}\right)
  2. B. (72, +∞)\left(\dfrac{7}{2},\ +\infty\right)
  3. C. (−32, +∞)\left(-\dfrac{3}{2},\ +\infty\right)
  4. D. (−∞, 72)\left(-\infty,\ \dfrac{7}{2}\right)
Rezolvare

Răspuns corect: A. (−32, 72)\left(-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{7}{2}\right)

Domeniu: 2x+3>0⇒x>−322x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\dfrac{3}{2}, deci x∈(−32,+∞)x \in \left(-\dfrac{3}{2}, +\infty\right). Inecuația: lg⁡(2x+3)<1=lg⁡10\lg(2x+3) < 1 = \lg 10. Deoarece lg⁡\lg este strict crescătoare: 2x+3<10.2x + 3 < 10. 2x<7⇒x<72.2x < 7 \Rightarrow x < \dfrac{7}{2}. Intersecție cu domeniul: (−32,+∞)∩(−∞,72)=(−32, 72).\left(-\dfrac{3}{2}, +\infty\right) \cap \left(-\infty, \dfrac{7}{2}\right) = \left(-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{7}{2}\right). x∈(−32, 72)x \in \left(-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{7}{2}\right)

Logaritmi #3

Mulțimea soluțiilor inecuației ln⁡(3x−1)≤ln⁡5\ln(3x - 1) \le \ln 5 este:
  1. A. (13, 2]\left(\dfrac{1}{3},\ 2\right]
  2. B. [13, 2]\left[\dfrac{1}{3},\ 2\right]
  3. C. (13, 2)\left(\dfrac{1}{3},\ 2\right)
  4. D. (13, +∞)\left(\dfrac{1}{3},\ +\infty\right)
  5. E. (−∞, 2](-\infty,\ 2]
Rezolvare

Răspuns corect: A. (13, 2]\left(\dfrac{1}{3},\ 2\right]

Domeniu: 3x−1>0⇒x>133x - 1 > 0 \Rightarrow x > \dfrac{1}{3}. Inecuația: ln⁡(3x−1)≤ln⁡5⇒3x−1≤5⇒x≤2\ln(3x-1) \le \ln 5 \Rightarrow 3x - 1 \le 5 \Rightarrow x \le 2. Intersecție: x∈(13, 2].x \in \left(\dfrac{1}{3},\ 2\right]. (13, 2]\left(\dfrac{1}{3},\ 2\right]

Logaritmi #4

Mulțimea soluțiilor inecuației log⁡1/2(3x−1)<−2\log_{1/2}(3x - 1) < -2 este:
  1. A. (53, +∞)\left(\dfrac{5}{3},\ +\infty\right)
  2. B. (13, 53)\left(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{5}{3}\right)
  3. C. (13, +∞)\left(\dfrac{1}{3},\ +\infty\right)
  4. D. (−∞, 53)\left(-\infty,\ \dfrac{5}{3}\right)
  5. E. (1, 53)\left(1,\ \dfrac{5}{3}\right)
Rezolvare

Răspuns corect: A. (53, +∞)\left(\dfrac{5}{3},\ +\infty\right)

Domeniu: 3x−1>0⇒x>133x - 1 > 0 \Rightarrow x > \dfrac{1}{3}. Rescriem: −2=log⁡1/24-2 = \log_{1/2} 4 (deoarece (1/2)−2=4(1/2)^{-2} = 4), deci log⁡1/2(3x−1)<log⁡1/24\log_{1/2}(3x-1) < \log_{1/2} 4. Monotonie inversă (log⁡1/2\log_{1/2} descrescătoare): 3x−1>4⇒x>533x - 1 > 4 \Rightarrow x > \dfrac{5}{3}. Intersecție cu domeniul: (53,+∞)∩(13,+∞)=(53,+∞).\left(\dfrac{5}{3}, +\infty\right) \cap \left(\dfrac{1}{3}, +\infty\right) = \left(\dfrac{5}{3}, +\infty\right). (53, +∞)\left(\dfrac{5}{3},\ +\infty\right)

Logaritmi #5

Mulțimea soluțiilor inecuației log⁡2(x2−2x−8)>1\log_2(x^2 - 2x - 8) > 1 este:
  1. A. (−∞, 1−11)∪(1+11, +∞)(-\infty,\ 1-\sqrt{11}) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty)
  2. B. (−∞,−2)∪(4,+∞)(-\infty, -2) \cup (4, +\infty)
  3. C. (−2, 4)(-2,\ 4)
  4. D. (−∞,−2)∪(1+11, +∞)(-\infty, -2) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty)
  5. E. (1−11, 1+11)(1-\sqrt{11},\ 1+\sqrt{11})
Rezolvare

Răspuns corect: A. (−∞, 1−11)∪(1+11, +∞)(-\infty,\ 1-\sqrt{11}) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty)

Domeniu: x2−2x−8>0⇒(x+2)(x−4)>0⇒D=(−∞,−2)∪(4,+∞).x^2 - 2x - 8 > 0 \Rightarrow (x+2)(x-4) > 0 \Rightarrow D = (-\infty, -2) \cup (4, +\infty). Inecuația: log⁡2(x2−2x−8)>1=log⁡22\log_2(x^2-2x-8) > 1 = \log_2 2, deci x2−2x−8>2x^2 - 2x - 8 > 2, adică x2−2x−10>0.x^2 - 2x - 10 > 0. Rădăcinile: x=1±11.x = 1 \pm \sqrt{11}. Soluția: x∈(−∞, 1−11)∪(1+11, +∞).x \in (-\infty,\ 1-\sqrt{11}) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty). **Intersecție cu DD:** 1−11≈−2,32<−21-\sqrt{11} \approx -2{,}32 < -2 și 1+11≈4,32>41+\sqrt{11} \approx 4{,}32 > 4, deci rezultatul stă în interiorul lui DD. (−∞, 1−11)∪(1+11, +∞)(-\infty,\ 1-\sqrt{11}) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty)

Logaritmi #6

Mulțimea soluțiilor inecuației lg⁡(x+1)+lg⁡(x−2)≤lg⁡4\lg(x+1) + \lg(x-2) \leq \lg 4 este:
  1. A. (2, 3](2,\ 3]
  2. B. (2, +∞)(2,\ +\infty)
  3. C. (−1, 3](-1,\ 3]
  4. D. (2, 4](2,\ 4]
Rezolvare

Răspuns corect: A. (2, 3](2,\ 3]

Domeniu: x+1>0x+1>0 și x−2>0x-2>0, deci x>2x>2. Combinare: lg⁡[(x+1)(x−2)]≤lg⁡4\lg[(x+1)(x-2)] \leq \lg 4. Baza 10>110>1 crescătoare: (x+1)(x−2)≤4(x+1)(x-2) \leq 4. x2−x−6≤0⇒(x−3)(x+2)≤0⇒x∈[−2,3].x^2-x-6 \leq 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) \leq 0 \Rightarrow x \in [-2, 3]. Intersecție: [−2,3]∩(2,+∞)=(2,3].[-2,3] \cap (2,+\infty) = (2, 3]. (2, 3](2,\ 3]

Logaritmi #7

Mulțimea soluțiilor inecuației (log⁡2x)2−5log⁡2x+4≤0(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 4 \le 0 este:
  1. A. [2, 16][2,\ 16]
  2. B. (0, 2](0,\ 2]
  3. C. [1, 4][1,\ 4]
  4. D. [2, 4][2,\ 4]
  5. E. (2, 16)(2,\ 16)
Rezolvare

Răspuns corect: A. [2, 16][2,\ 16]

Fie t=log⁡2xt = \log_2 x (cu x>0x > 0). Inecuația devine t2−5t+4≤0t^2 - 5t + 4 \le 0, adică (t−1)(t−4)≤0(t-1)(t-4) \le 0, deci t∈[1,4]t \in [1, 4]. Revenind: log⁡2x∈[1,4]  ⟺  x∈[21,24]=[2,16].\log_2 x \in [1, 4] \iff x \in [2^1, 2^4] = [2, 16]. Domeniul x>0x>0 e automat satisfăcut. [2, 16][2,\ 16]

Logaritmi #8

Mulțimea soluțiilor inecuației log⁡2(2x−3)>log⁡2(x+1)\log_2(2x - 3) > \log_2(x + 1) este:
  1. A. (4, +∞)(4,\ +\infty)
  2. B. [4, +∞)[4,\ +\infty)
  3. C. (32, +∞)\left(\dfrac{3}{2},\ +\infty\right)
  4. D. (−1, 4)(-1,\ 4)
  5. E. ∅\emptyset
Rezolvare

Răspuns corect: A. (4, +∞)(4,\ +\infty)

Domeniu: 2x−3>0⇒x>322x-3>0 \Rightarrow x > \dfrac{3}{2} și x+1>0⇒x>−1x+1>0 \Rightarrow x > -1. Intersecție: D=(32,+∞).D = \left(\dfrac{3}{2}, +\infty\right). Reducere: baza >1>1 păstrează sensul: 2x−3>x+1⇒x>4.2x - 3 > x + 1 \Rightarrow x > 4. **Intersecție cu DD:** (4,+∞).(4, +\infty). (4, +∞)(4,\ +\infty)

Logaritmi #9

Mulțimea soluțiilor inecuației log⁡4(x)≤log⁡2(x−2)\log_4(x) \leq \log_2(x - 2) este:
  1. A. [4, +∞)[4,\ +\infty)
  2. B. (2, +∞)(2,\ +\infty)
  3. C. (4, +∞)(4,\ +\infty)
  4. D. (4, +∞)∪{1}(4,\ +\infty) \cup \{1\}
  5. E. (0, 4)(0,\ 4)
Rezolvare

Răspuns corect: A. [4, +∞)[4,\ +\infty)

log⁡4(x)=log⁡2x2\log_4(x) = \dfrac{\log_2 x}{2}, deci inecuația devine log⁡2x2≤log⁡2(x−2).\dfrac{\log_2 x}{2} \leq \log_2(x-2). Domeniu: x>0x>0 și x−2>0x-2>0, deci x>2.x>2. Înmulțim cu 22: log⁡2x≤log⁡2(x−2)2.\log_2 x \leq \log_2(x-2)^2. Monotonie crescătoare: x≤(x−2)2=x2−4x+4.x \leq (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4. 0≤x2−5x+4=(x−1)(x−4)⇒x≤10 \leq x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \Rightarrow x \leq 1 sau x≥4.x \geq 4. **Intersecție cu x>2x>2:** x≥4.x \geq 4. Verificăm x=4x=4: log⁡44=1=log⁡22\log_4 4 = 1 = \log_2 2 ✓. [4, +∞)[4,\ +\infty)

Logaritmi #10

Mulțimea soluțiilor inecuației log⁡2(x2−2x)≤log⁡2(x+4)\log_2(x^2 - 2x) \leq \log_2(x + 4) este:
  1. A. [−1, 0)∪(2, 4][-1,\ 0) \cup (2,\ 4]
  2. B. [−1, 4][-1,\ 4]
  3. C. (0, 4](0,\ 4]
  4. D. (−4, 0)∪(2, 4](-4,\ 0) \cup (2,\ 4]
  5. E. [−1, 0)∪(2, +∞)[-1,\ 0) \cup (2,\ +\infty)
Rezolvare

Răspuns corect: A. [−1, 0)∪(2, 4][-1,\ 0) \cup (2,\ 4]

Domeniu de existență: ambele argumente trebuie să fie strict pozitive. x2−2x>0  ⟺  x(x−2)>0  ⟺  x∈(−∞,0)∪(2,+∞)x^2 - 2x > 0 \iff x(x-2) > 0 \iff x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty). x+4>0  ⟺  x>−4x + 4 > 0 \iff x > -4. Intersecție: D=(−4, 0)∪(2, +∞)D = (-4,\ 0) \cup (2,\ +\infty). Reducere algebrică: baza 2>12 > 1, deci log⁡2\log_2 este strict crescătoare, iar inecuația este echivalentă (pe DD) cu x2−2x≤x+4.x^2 - 2x \leq x + 4. x2−3x−4≤0  ⟺  (x−4)(x+1)≤0.x^2 - 3x - 4 \leq 0 \iff (x-4)(x+1) \leq 0. x∈[−1, 4].x \in [-1,\ 4]. Intersecție cu domeniul: [−1, 4]∩(−4, 0)=[−1, 0)[-1,\ 4] \cap (-4,\ 0) = [-1,\ 0). [−1, 4]∩(2, +∞)=(2, 4][-1,\ 4] \cap (2,\ +\infty) = (2,\ 4]. Reuniunea dă soluția finală. [−1, 0)∪(2, 4][-1,\ 0) \cup (2,\ 4]

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 11-a