Exerciții rezolvate cu sisteme de ecuații liniare — clasa a 11-a

Adunând: $3x = 9 \Rightarrow x = 3$. Apoi $y = x - 2 = 1$. Soluție: $(3, 1)$.

Cramer: $x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}$.

$x = y$. Atunci $2y + z = 6$ și $y + z = 5$, deci $y = 1$ și $z = 4$. Soluție: $(1, 1, 4)$.

$x = \dfrac{\det(A_1)}{\det(A)} = \dfrac{-10}{-5} = 2$.

Înmulțind prima ecuație cu $2$: $2x + 2y = 2 \ne 5$. Deci sistemul este inconsistent — nicio soluție.

A doua ecuație este $2 \times$ prima, deci nu aduce informație nouă. Sistemul are infinit de multe soluții.

L2 − L1: $y + 2z = 8$. L3 − L1: $3y + 8z = 30$. Din prima: $y = 8 - 2z$. Substituind: $3(8 - 2z) + 8z = 30 \Rightarrow 24 + 2z = 30 \Rightarrow z = 3$. Atunci $y = 2$, $x = 1$. Soluție: $(1, 2, 3)$.

Un sistem liniar este compatibil (are cel puțin o soluție) dacă și numai dacă $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}([A | b])$ — rangul matricei coeficienților este egal cu rangul matricei extinse.

Un sistem omogen pătratic are soluții netriviale (nenule) dacă și numai dacă $\det(A) = 0$.

Matricea sistemului este simetrică, $\begin{pmatrix}m&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{pmatrix}$, cu determinantul $\Delta(m)=(m-1)^2(m+2)$. Valorile distincte care îl anulează sunt $m=1$ şi $m=-2$. **La $m=1$:** matricea sistemului devine $\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$, cu $\operatorname{rang}(A)=1$. Matricea extinsă are liniile $(1,1,1\mid2)$, $(1,1,1\mid1)$, $(1,1,1\mid3)$ — cum termenii liberi diferă deşi liniile din stânga sunt identice, $\operatorname{rang}(A|b)=2\ne\operatorname{rang}(A)$. Sistemul este incompatibil. **La $m=-2$:** matricea sistemului este $\begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}$, ale cărei linii însumate dau $(0,0,0)$, deci $\operatorname{rang}(A)=2$. Suma termenilor liberi este $2+1+3=6\ne0$, deci suma celor trei ecuaţii ar da $0=6$ — imposibil. $\operatorname{rang}(A|b)=3\ne\operatorname{rang}(A)$. Sistemul este de asemenea incompatibil. Aşadar sistemul este incompatibil pentru ambele valori, $m=1$ şi $m=-2$, iar suma lor este $1+(-2)=-1$. Verificare: la niciuna dintre cele două valori rangurile nu coincid, deci nu apare cazul compatibil-nedeterminat pentru acest sistem — suma cerută este $-1$. ✓

Matricea este $A=\begin{pmatrix}\tfrac23&-\tfrac13&-\tfrac13\\-\tfrac13&\tfrac23&-\tfrac13\\-\tfrac13&-\tfrac13&\tfrac23\end{pmatrix}$. Înmulțind toate liniile cu $3$ (fără a schimba rangul), obținem matricea echivalentă $$3A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}.$$ Observăm că suma celor trei linii este $(2-1-1,\,-1+2-1,\,-1-1+2)=(0,0,0)$, deci liniile sunt liniar dependente și rangul este cel mult $2$. Liniile $1$ și $2$, $(2,-1,-1)$ și $(-1,2,-1)$, nu sunt proporționale (raportul primelor componente este $-2$, dar al celorlalte nu este $-2$), deci sunt liniar independente. Rangul este exact $2$. Verificare: minorul format din liniile $1,2$ și coloanele $1,2$ este $\begin{vmatrix}2&-1\\-1&2\end{vmatrix}=4-1=3\ne0$, confirmă rang $\ge2$; combinat cu dependența celor trei linii, rangul este exact $2$. (Notă: pentru orice matrice idempotentă, $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{tr}(A)$; aici $\operatorname{tr}(A)=\tfrac23\cdot3=2$, consistent.) ✓

Matricea sistemului este $\begin{pmatrix}m&1&2\\3&-1&1\\2&1&m\end{pmatrix}$. Dezvoltând (după prima linie sau prin Sarrus) se obţine $$\Delta(m)=-(m-2)(m+6),$$ cu rădăcinile $m=2$ şi $m=-6$. **La $m=2$:** matricea sistemului devine $\begin{pmatrix}2&1&2\\3&-1&1\\2&1&2\end{pmatrix}$ — liniile $1$ şi $3$ sunt identice, $(2,1,2)$. Însă termenii liberi corespunzători sunt $2$ (ecuaţia 1) şi $-6$ (ecuaţia 3) — diferiţi! Cum liniile din stânga coincid dar termenii liberi nu, ecuaţiile 1 şi 3 se contrazic: $\operatorname{rang}(A)=2\neq\operatorname{rang}(A|b)=3$. Sistemul este incompatibil la $m=2$. **La $m=-6$:** matricea sistemului este $\begin{pmatrix}-6&1&2\\3&-1&1\\2&1&-6\end{pmatrix}$, cu $\operatorname{rang}(A)=2$ (se poate verifica: $5L_1+8L_2+3L_3=(0,0,0)$ pe partea stângă). Verificăm aceeaşi combinaţie pe termenii liberi: $5\cdot2+8\cdot1+3\cdot(-6)=10+8-18=0$ — relaţia se păstrează! Deci $\operatorname{rang}(A|b)=2=\operatorname{rang}(A)<3$. Sistemul este compatibil nedeterminat la $m=-6$. Verificare: cele două rădăcini ale lui $\Delta(m)=0$ dau clasificări diferite — $m=2$ incompatibil, $m=-6$ compatibil nedeterminat — deci răspunsul căutat este $m=-6$. ✓