pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 12-a

Exerciții rezolvate cu integrala definită — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 105 exerciții rezolvate cu integrala definită pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de integrala definită.

Integrala definită #1

∫01x dx\displaystyle\int_0^1 x \, dx este egal cu:
  1. A. 00
  2. B. 12\dfrac{1}{2}
  3. C. 11
  4. D. 22
Rezolvare

Răspuns corect: B. 12\dfrac{1}{2}

F(x)=x22F(x) = \dfrac{x^2}{2}. ∫01x dx=F(1)−F(0)=12\int_0^1 x \, dx = F(1) - F(0) = \dfrac{1}{2}.

Integrala definită #2

∫12x2 dx\displaystyle\int_1^2 x^2 \, dx este egal cu:
  1. A. 13\dfrac{1}{3}
  2. B. 73\dfrac{7}{3}
  3. C. 83\dfrac{8}{3}
  4. D. 33
Rezolvare

Răspuns corect: B. 73\dfrac{7}{3}

F(x)=x33F(x) = \dfrac{x^3}{3}. F(2)−F(1)=83−13=73F(2) - F(1) = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}.

Integrala definită #3

∫0π/2cos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x \, dx este egal cu:
  1. A. 00
  2. B. 12\dfrac{1}{2}
  3. C. 11
  4. D. π2\dfrac{\pi}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 11

F(x)=sin⁡xF(x) = \sin x. F(π/2)−F(0)=1−0=1F(\pi/2) - F(0) = 1 - 0 = 1.

Integrala definită #4

∫01ex dx\displaystyle\int_0^1 e^x \, dx este egal cu:
  1. A. 11
  2. B. ee
  3. C. e−1e - 1
  4. D. e+1e + 1
Rezolvare

Răspuns corect: C. e−1e - 1

∫01ex dx=e1−e0=e−1\int_0^1 e^x \, dx = e^1 - e^0 = e - 1.

Integrala definită #5

Aria de sub curba y=x2y = x^2 între x=0x = 0 și x=3x = 3 este egală cu:
  1. A. 33
  2. B. 66
  3. C. 99
  4. D. 2727
Rezolvare

Răspuns corect: C. 99

∫03x2 dx=273=9\int_0^3 x^2 \, dx = \dfrac{27}{3} = 9.

Integrala definită #6

∫012x(x2+1)3 dx\displaystyle\int_0^1 2x(x^2 + 1)^3 \, dx este egal cu:
  1. A. 11
  2. B. 154\dfrac{15}{4}
  3. C. 174\dfrac{17}{4}
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: B. 154\dfrac{15}{4}

u=x2+1⇒du=2x dxu = x^2 + 1 \Rightarrow du = 2x \, dx. Când x=0x = 0, u=1u = 1; când x=1x = 1, u=2u = 2. ∫12u3 du=16−14=154\int_1^2 u^3 \, du = \dfrac{16 - 1}{4} = \dfrac{15}{4}.

Integrala definită #7

∫1eln⁡x dx\displaystyle\int_1^e \ln x \, dx este egal cu:
  1. A. 11
  2. B. ee
  3. C. e−1e - 1
  4. D. 00
Rezolvare

Răspuns corect: A. 11

∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C. Evaluăm: (e⋅1−e)−(1⋅0−1)=0−(−1)=1(e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1.

Integrala definită #8

Pentru ff continuă și nenegativă pe [a,b][a, b] cu b>ab > a:
  1. A. ∫abf<0 ıˆntotdeauna\int_a^b f < 0\text{ }\allowbreak{}\text{întotdeauna}
  2. B. ∫abf=0 ıˆntotdeauna\int_a^b f = 0\text{ }\allowbreak{}\text{întotdeauna}
  3. C. ∫abf≥0\int_a^b f \ge 0
  4. D. ∫abf depinde doar de b\int_a^b f\text{ }\allowbreak{}\text{depinde}\text{ }\allowbreak{}\text{doar}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}b
Rezolvare

Răspuns corect: C. ∫abf≥0\int_a^b f \ge 0

Integrala unei funcții continue și nenegative pe [a,b][a, b] este nenegativă (reprezintă aria de sub grafic).

Integrala definită #9

Aria regiunii cuprinse între graficele funcțiilor f(x)=x3f(x)=x^3 și g(x)=xg(x)=x pe intervalul [−1,1][-1,1] este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 12\dfrac{1}{2}
  3. C. 14\dfrac{1}{4}
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: B. 12\dfrac{1}{2}

Intersecții: x∈{−1,0,1}x\in\{-1,0,1\}. Pe [−1,0][-1,0]: x3≥xx^3\ge x; pe [0,1][0,1]: x≥x3x\ge x^3. ∫−10(x3−x) dx=[x44−x22]−10=0−(14−12)=14,\int_{-1}^0(x^3-x)\,dx=\Big[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\Big]_{-1}^0=0-\left(\frac14-\frac12\right)=\frac14, ∫01(x−x3) dx=[x22−x44]01=12−14=14.\int_0^1(x-x^3)\,dx=\Big[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\Big]_0^1=\frac12-\frac14=\frac14. Aria=14+14=12.\text{Aria}=\frac14+\frac14=\frac12. (Atenție: integrala directă ∫−11(x3−x) dx=0\int_{-1}^1(x^3-x)\,dx=0, deoarece x3−xx^3-x este o funcție impară — asta dă suma algebrică, nu aria!) Verificare: 1/4+1/4=1/21/4+1/4=1/2 ✓.

Integrala definită #10

Fie f(x)=x3−xf(x)=x^3-x. Aria regiunii mărginite de graficul lui ff și tangenta la grafic în punctul de inflexiune, pentru x∈[−1,1]x\in[-1,1], este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 12\dfrac{1}{2}
  3. C. 14\dfrac{1}{4}
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: B. 12\dfrac{1}{2}

f′(x)=3x2−1f'(x)=3x^2-1, f′′(x)=6xf''(x)=6x, deci punctul de inflexiune este x=0x=0. Tangenta acolo: t(x)=f′(0)(x−0)+f(0)=−x+0=−xt(x)=f'(0)(x-0)+f(0)=-x+0=-x. f(x)−t(x)=(x3−x)−(−x)=x3.f(x)-t(x)=(x^3-x)-(-x)=x^3. Pe [−1,0][-1,0], x3≤0x^3\le0; pe [0,1][0,1], x3≥0x^3\ge0. Aria=∫−10(−x3) dx+∫01x3 dx=14+14=12.\text{Aria}=\int_{-1}^0(-x^3)\,dx+\int_0^1 x^3\,dx=\frac14+\frac14=\frac12. (Atenție: ∫−11x3 dx=0\int_{-1}^1 x^3\,dx=0 pentru că x3x^3 e impară — asta ar da greșit "aria" 00 dacă uiți să separați semnul.) Verificare: 1/4+1/4=1/21/4+1/4=1/2 ✓.

Integrala definită #11

Valoarea integralei ∫01x(x+1)(x+2) dx\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{(x+1)(x+2)}\,dx este:
  1. A. ln⁡98\ln\dfrac98
  2. B. ln⁡89\ln\dfrac89
  3. C. ln⁡2−ln⁡3\ln 2-\ln 3
  4. D. 12ln⁡98\dfrac12\ln\dfrac98
Rezolvare

Răspuns corect: A. ln⁡98\ln\dfrac98

Din x=A(x+2)+B(x+1)x=A(x+2)+B(x+1): pentru x=−1x=-1 obținem A=−1A=-1; pentru x=−2x=-2 obținem B=2B=2. Deci integrandul este −1x+1+2x+2-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x+2}, cu primitiva −ln⁡∣x+1∣+2ln⁡∣x+2∣-\ln|x+1|+2\ln|x+2|. La x=1x=1: −ln⁡2+2ln⁡3-\ln2+2\ln3. La x=0x=0: −ln⁡1+2ln⁡2=2ln⁡2-\ln1+2\ln2=2\ln2. ∫01x(x+1)(x+2) dx=(−ln⁡2+2ln⁡3)−2ln⁡2=2ln⁡3−3ln⁡2=ln⁡9−ln⁡8=ln⁡98.\int_0^1\frac{x}{(x+1)(x+2)}\,dx = \big(-\ln2+2\ln3\big)-2\ln2 = 2\ln3-3\ln2=\ln9-\ln8=\ln\frac98.

Integrala definită #12

Valoarea integralei ∫0π2ln⁡(sin⁡x) dx\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\,dx este:
  1. A. −πln⁡2-\pi\ln 2
  2. B. −πln⁡22-\dfrac{\pi\ln 2}{2}
  3. C. 00
  4. D. integrala este divergenta˘\text{integrala}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{divergentă}
Rezolvare

Răspuns corect: B. −πln⁡22-\dfrac{\pi\ln 2}{2}

Integrala este convergentă: deși ln⁡(sin⁡x)→−∞\ln(\sin x)\to-\infty când x→0+x\to 0^{+}, singularitatea este logaritmică, deci integrabilă. Fie I=∫0π2ln⁡(sin⁡x) dxI=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\ln(\sin x)\,dx. Pasul 1. Substituția x↦π2−xx\mapsto\dfrac\pi2-x dă ∫0π2ln⁡(cos⁡x)dx=I\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\ln(\cos x)dx=I. Pasul 2. Adunând și folosind sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x=\dfrac{\sin 2x}{2}: 2I=∫0π2ln⁡(sin⁡xcos⁡x)dx=∫0π2ln⁡sin⁡2x2 dx=∫0π2ln⁡(sin⁡2x) dx−π2ln⁡2.2I=\int_0^{\frac\pi2}\ln\left(\sin x\cos x\right)dx=\int_0^{\frac\pi2}\ln\frac{\sin 2x}{2}\,dx=\int_0^{\frac\pi2}\ln(\sin 2x)\,dx-\frac{\pi}{2}\ln 2. Pasul 3. În ultima integrală, substituția u=2xu=2x dă ∫0π2ln⁡(sin⁡2x)dx=12∫0πln⁡(sin⁡u) du=12⋅2I=I\int_0^{\frac\pi2}\ln(\sin 2x)dx=\frac12\int_0^{\pi}\ln(\sin u)\,du=\frac12\cdot 2I=I (am folosit simetria graficului lui sin⁡\sin față de u=π2u=\frac\pi2 pe [0,π][0,\pi]). Deci 2I=I−π2ln⁡22I=I-\dfrac{\pi}{2}\ln 2, de unde I=−πln⁡22≈−1,0888.I=-\frac{\pi\ln 2}{2}\approx-1{,}0888. (Verificat numeric la 25 de zecimale: −1,088793045151801065-1{,}088793045151801065.) ✓
În aplicațieÎncă 93 exerciții cu integrala definităIntră în cont și continui direct de la integrala definită — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 12-a