pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 12-a

Exerciții rezolvate cu integrale — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 104 exerciții rezolvate cu integrale pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de integrale.

Integrale #1

∫x3 dx\displaystyle\int x^3 \, dx este egal cu:
  1. A. 3x2+C3x^2 + C
  2. B. x43+C\dfrac{x^4}{3} + C
  3. C. x44+C\dfrac{x^4}{4} + C
  4. D. 4x4+C4x^4 + C
Rezolvare

Răspuns corect: C. x44+C\dfrac{x^4}{4} + C

∫x3 dx=x44+C\int x^3 \, dx = \dfrac{x^4}{4} + C.

Integrale #2

∫5 dx\displaystyle\int 5 \, dx este egal cu:
  1. A. 00
  2. B. 55
  3. C. 5x+C5x + C
  4. D. x25+C\dfrac{x^2}{5} + C
Rezolvare

Răspuns corect: C. 5x+C5x + C

∫c dx=cx+C\int c \, dx = cx + C. Deci ∫5 dx=5x+C\int 5 \, dx = 5x + C.

Integrale #3

∫1x dx\displaystyle\int \dfrac{1}{x} \, dx (pentru x>0x > 0) este egal cu:
  1. A. 1x2+C\dfrac{1}{x^2} + C
  2. B. −1x2+C-\dfrac{1}{x^2} + C
  3. C. ln⁡x+C\ln x + C
  4. D. x00+C\dfrac{x^0}{0} + C
Rezolvare

Răspuns corect: C. ln⁡x+C\ln x + C

∫dxx=ln⁡∣x∣+C\int \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C. Pentru x>0x > 0: ln⁡x+C\ln x + C.

Integrale #4

∫cos⁡x dx\displaystyle\int \cos x \, dx este egal cu:
  1. A. −cos⁡x+C-\cos x + C
  2. B. −sin⁡x+C-\sin x + C
  3. C. sin⁡x+C\sin x + C
  4. D. tg⁡x+C\tg x + C
Rezolvare

Răspuns corect: C. sin⁡x+C\sin x + C

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x \, dx = \sin x + C.

Integrale #5

∫xex dx\displaystyle\int x e^x \, dx este egal cu:
  1. A. x22ex+C\dfrac{x^2}{2}e^x + C
  2. B. ex+Ce^x + C
  3. C. (x−1)ex+C(x - 1)e^x + C
  4. D. xex+Cx e^x + C
Rezolvare

Răspuns corect: C. (x−1)ex+C(x - 1)e^x + C

∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex+C=(x−1)ex+C\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = (x - 1) e^x + C.

Integrale #6

∫2x⋅cos⁡(x2) dx\displaystyle\int 2x \cdot \cos(x^2) \, dx este egal cu:
  1. A. sin⁡(2x)+C\sin(2x) + C
  2. B. 2sin⁡(x2)+C2\sin(x^2) + C
  3. C. sin⁡(x2)+C\sin(x^2) + C
  4. D. cos⁡(x2)+C\cos(x^2) + C
Rezolvare

Răspuns corect: C. sin⁡(x2)+C\sin(x^2) + C

u=x2⇒du=2x dxu = x^2 \Rightarrow du = 2x \, dx. Deci ∫cos⁡u du=sin⁡u+C=sin⁡(x2)+C\int \cos u \, du = \sin u + C = \sin(x^2) + C.

Integrale #7

∫xcos⁡x dx\displaystyle\int x \cos x \, dx este egal cu:
  1. A. x22cos⁡x+C\dfrac{x^2}{2} \cos x + C
  2. B. −xsin⁡x+cos⁡x+C-x \sin x + \cos x + C
  3. C. xsin⁡x+cos⁡x+Cx \sin x + \cos x + C
  4. D. sin⁡x−xcos⁡x+C\sin x - x \cos x + C
Rezolvare

Răspuns corect: C. xsin⁡x+cos⁡x+Cx \sin x + \cos x + C

u=xu = x, du=dxdu = dx, v=sin⁡xv = \sin x. ∫xcos⁡x dx=xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+C\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C.

Integrale #8

∫1x(x+1) dx\displaystyle\int \dfrac{1}{x(x + 1)} \, dx este egal cu:
  1. A. ln⁡∣x(x+1)∣+C\ln|x(x + 1)| + C
  2. B. arctg⁡x+C\arctg x + C
  3. C. ln⁡ ⁣∣xx+1∣+C\ln\!\left|\dfrac{x}{x+1}\right| + C
  4. D. 1x−1x+1+C\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1} + C
Rezolvare

Răspuns corect: C. ln⁡ ⁣∣xx+1∣+C\ln\!\left|\dfrac{x}{x+1}\right| + C

∫ ⁣(1x−1x+1)dx=ln⁡∣x∣−ln⁡∣x+1∣+C=ln⁡ ⁣∣xx+1∣+C\int \!\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}\right) dx = \ln|x| - \ln|x + 1| + C = \ln\!\left|\dfrac{x}{x + 1}\right| + C.

Integrale #9

Calculati ∫01xex dx\displaystyle\int_0^1 x e^x\, dx.
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. e−1e - 1
  4. D. e+1e + 1
Rezolvare

Răspuns corect: B. 11

∫xex dx=xex−∫ex dx=(x−1)ex+C\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = (x-1)e^x + C. Calculand de la 00 la 11: (0)⋅e−(−1)⋅1=0−(−1)=1(0)\cdot e - (-1)\cdot 1 = 0 - (-1) = 1.

Integrale #10

Valoarea integralei ∫0π/2dx1+tan⁡5x\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+\tan^5 x} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. C. π2\dfrac{\pi}{2}
  4. D. π\pi
Rezolvare

Răspuns corect: B. π4\dfrac{\pi}{4}

Fie I=∫0π/2dx1+tan⁡5xI=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\tan^5x}. Cu x→π2−xx\to\frac\pi2-x: I=∫0π/2dx1+cot⁡5x=∫0π/2tan⁡5xtan⁡5x+1 dx.I=\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\cot^5x}=\int_0^{\pi/2}\frac{\tan^5x}{\tan^5x+1}\,dx. Adunăm cele două forme ale lui II: 2I=∫0π/2(11+tan⁡5x+tan⁡5x1+tan⁡5x)dx=∫0π/21 dx=π2.2I=\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{1+\tan^5x}+\frac{\tan^5x}{1+\tan^5x}\right)dx=\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac\pi2. Deci I=π4I=\dfrac\pi4 — rezultatul e independent de exponentul 55 (funcționează pentru orice putere reală pozitivă a lui tan⁡x\tan x). Verificare: 2⋅π/4=π/22\cdot\pi/4=\pi/2 ✓.

Integrale #11

Valoarea integralei ∫0πexsin⁡x dx\displaystyle\int_0^\pi e^x\sin x\,dx este:
  1. A. eπ−12\dfrac{e^\pi-1}{2}
  2. B. eπe^\pi
  3. C. eπ+12\dfrac{e^\pi+1}{2}
  4. D. eπ2\dfrac{e^\pi}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: C. eπ+12\dfrac{e^\pi+1}{2}

Aplicând părțile de două ori (sau verificând direct prin derivare), o primitivă este ∫exsin⁡x dx=ex2(sin⁡x−cos⁡x),\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\big(\sin x-\cos x\big), căci ddx[ex2(sin⁡x−cos⁡x)]=ex2(sin⁡x−cos⁡x)+ex2(cos⁡x+sin⁡x)=exsin⁡x\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)\right]=\dfrac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+\dfrac{e^x}{2}(\cos x+\sin x)=e^x\sin x. ✓ Evaluăm între 00 și π\pi: la x=πx=\pi: eπ2(0−(−1))=eπ2\dfrac{e^\pi}{2}\big(0-(-1)\big)=\dfrac{e^\pi}{2}; la x=0x=0: 12(0−1)=−12\dfrac12(0-1)=-\dfrac12. ∫0πexsin⁡x dx=eπ2−(−12)=eπ+12.\int_0^\pi e^x\sin x\,dx = \frac{e^\pi}{2}-\left(-\frac12\right)=\frac{e^\pi+1}{2}.

Integrale #12

Valoarea integralei ∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx este:
  1. A. π2\dfrac{\pi}{2}
  2. B. 11
  3. C. π8\dfrac{\pi}{8}
  4. D. π4\dfrac{\pi}{4}
Rezolvare

Răspuns corect: D. π4\dfrac{\pi}{4}

Fie II integrala dată. Cu substituția x→π2−xx\to\dfrac{\pi}{2}-x: sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x și cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x, deci aceeași valoare II se scrie și I=∫0π/2cos⁡xcos⁡x+sin⁡x dx.I=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\,dx. Adunând cele două scrieri ale lui II: 2I=∫0π/2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡x dx=∫0π/21 dx=π2.2I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx=\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}. Deci I=π4I=\dfrac{\pi}{4}.
În aplicațieÎncă 92 exerciții cu integraleIntră în cont și continui direct de la integrale — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 12-a