pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 12-a

Exerciții rezolvate cu integrale recursive — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 74 exerciții rezolvate cu integrale recursive pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de integrale recursive.

Integrale recursive #1

Fie In=∫01xn dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \, dx. Atunci I0I_0 este egal cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 12\dfrac{1}{2}
  4. D. divergent\text{divergent}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 11

I0=∫011 dx=1I_0 = \int_0^1 1 \, dx = 1.

Integrale recursive #2

Pentru In=∫01xn dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \, dx, expresia în formă închisă este:
  1. A. nn
  2. B. 1n\dfrac{1}{n}
  3. C. 1n+1\dfrac{1}{n + 1}
  4. D. nn+1\dfrac{n}{n + 1}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 1n+1\dfrac{1}{n + 1}

In=xn+1n+1∣01=1n+1I_n = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1 = \dfrac{1}{n + 1}.

Integrale recursive #3

Pentru In=∫01xnex dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x \, dx, integrarea prin părți dă recurența:
  1. A. In=e+nIn−1I_n = e + n I_{n-1}
  2. B. In=e−nIn−1I_n = e - n I_{n-1}
  3. C. In=nIn−1−eI_n = n I_{n-1} - e
  4. D. In=(n−1)In−1I_n = (n - 1) I_{n-1}
Rezolvare

Răspuns corect: B. In=e−nIn−1I_n = e - n I_{n-1}

In=xnex∣01−n∫01xn−1ex dx=e−nIn−1I_n = x^n e^x\Big|_0^1 - n \int_0^1 x^{n-1} e^x \, dx = e - n I_{n-1}.

Integrale recursive #4

Pentru In=∫01xn dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \, dx, șirul (In)n≥0(I_n)_{n \ge 0} este:
  1. A. strict cresca˘tor\text{strict}\text{ }\allowbreak{}\text{crescător}
  2. B. strict descresca˘tor\text{strict}\text{ }\allowbreak{}\text{descrescător}
  3. C. constant\text{constant}
  4. D. nemonoton\text{nemonoton}
Rezolvare

Răspuns corect: B. strict descresca˘tor\text{strict}\text{ }\allowbreak{}\text{descrescător}

Pentru x∈[0,1]x \in [0, 1], xn+1≤xnx^{n+1} \le x^n, deci In+1≤InI_{n+1} \le I_n. Strict descrescător.

Integrale recursive #5

Termenii șirului In=∫0π/2sin⁡nx dxI_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx sunt:
  1. A. ıˆntotdeauna negativi\text{întotdeauna}\text{ }\allowbreak{}\text{negativi}
  2. B. alternați ıˆn semn\text{alternați}\text{ }\allowbreak{}\text{în}\text{ }\allowbreak{}\text{semn}
  3. C. ıˆntotdeauna pozitivi\text{întotdeauna}\text{ }\allowbreak{}\text{pozitivi}
  4. D. zero pentru n par\text{zero}\text{ }\allowbreak{}\text{pentru}\text{ }\allowbreak{}n\text{ }\allowbreak{}\text{par}
Rezolvare

Răspuns corect: C. ıˆntotdeauna pozitivi\text{întotdeauna}\text{ }\allowbreak{}\text{pozitivi}

sin⁡x≥0\sin x \ge 0 pe [0,π/2][0, \pi/2], deci sin⁡nx≥0\sin^n x \ge 0 și integrala este ≥0\ge 0 (de fapt >0> 0 pentru nn finit).

Integrale recursive #6

Pentru In=∫0π/2sin⁡nx dxI_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx, recurența Wallis dă:
  1. A. In=In−2I_n = I_{n-2}
  2. B. In=n−1nIn−2I_n = \dfrac{n - 1}{n} I_{n-2}
  3. C. In=nn−1In−2I_n = \dfrac{n}{n - 1} I_{n-2}
  4. D. In=nIn−1I_n = n I_{n-1}
Rezolvare

Răspuns corect: B. In=n−1nIn−2I_n = \dfrac{n - 1}{n} I_{n-2}

Formula Wallis dă In=n−1nIn−2I_n = \dfrac{n - 1}{n} I_{n-2} pentru n≥2n \ge 2.

Integrale recursive #7

Pentru In=∫01xn1+x dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \, dx, inegalitatea 0≤In≤1n+10 \le I_n \le \dfrac{1}{n + 1} are loc deoarece:
  1. A. 11+x≥0 pe [0,1]\dfrac{1}{1 + x} \ge 0\text{ }\allowbreak{}\text{pe}\text{ }\allowbreak{}[0, 1]
  2. B. xn1+x≤1 pe [0,1]\dfrac{x^n}{1 + x} \le 1\text{ }\allowbreak{}\text{pe}\text{ }\allowbreak{}[0, 1]
  3. C. 11+x≤1 pe [0,1]\dfrac{1}{1 + x} \le 1\text{ }\allowbreak{}\text{pe}\text{ }\allowbreak{}[0, 1]
  4. D. xn1+x≥xn\dfrac{x^n}{1 + x} \ge x^n
Rezolvare

Răspuns corect: C. 11+x≤1 pe [0,1]\dfrac{1}{1 + x} \le 1\text{ }\allowbreak{}\text{pe}\text{ }\allowbreak{}[0, 1]

Pe [0,1][0, 1]: 1≤1+x≤21 \le 1 + x \le 2, deci 12≤11+x≤1\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{1 + x} \le 1. Rezultă că xn1+x≤xn\dfrac{x^n}{1 + x} \le x^n, dând In≤∫01xn dx=1n+1I_n \le \int_0^1 x^n \, dx = \dfrac{1}{n + 1}.

Integrale recursive #8

Pentru In=∫01xn1+x dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \, dx, lim⁡n→∞In\lim_{n \to \infty} I_n este egal cu:
  1. A. 00
  2. B. 12\dfrac{1}{2}
  3. C. ln⁡2\ln 2
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: A. 00

0≤In≤1n+1→00 \le I_n \le \dfrac{1}{n + 1} \to 0, deci In→0I_n \to 0 prin criteriul cleștar.

Integrale recursive #9

Pentru In=∫01xn1+x dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \, dx, suma In+In+1I_n + I_{n+1} este egală cu:
  1. A. 1n+1\dfrac{1}{n + 1}
  2. B. 11
  3. C. 1n\dfrac{1}{n}
  4. D. ln⁡2\ln 2
Rezolvare

Răspuns corect: A. 1n+1\dfrac{1}{n + 1}

In+In+1=∫01xn+xn+11+x dx=∫01xn dx=1n+1I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \dfrac{x^n + x^{n+1}}{1 + x} \, dx = \int_0^1 x^n \, dx = \dfrac{1}{n + 1}.

Integrale recursive #10

Fie In=∫01xnx+1 dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{x+1}\,dx, n∈Nn \in \mathbb{N}. Valoarea lui I2I_2 este:
  1. A. ln⁡2−12\ln 2 - \dfrac{1}{2}
  2. B. 32+ln⁡2\dfrac{3}{2} + \ln 2
  3. C. −12-\dfrac{1}{2}
  4. D. 12−ln⁡2\dfrac{1}{2} - \ln 2
  5. E. −ln⁡2−12-\ln 2 - \dfrac{1}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: A. ln⁡2−12\ln 2 - \dfrac{1}{2}

Pentru n≥1n\ge 1 scriem xnx+1=xn−1−xn−1x+1.\frac{x^n}{x+1} = x^{n-1} - \frac{x^{n-1}}{x+1}. Integrând pe [0,1][0,1], obținem relația In+In−1=∫01xn−1 dx=1n.I_n + I_{n-1} = \int_0^1 x^{n-1}\,dx = \frac{1}{n}. Calculăm baza: I0=∫011x+1 dx=ln⁡(x+1)∣01=ln⁡2.I_0 = \int_0^1 \frac{1}{x+1}\,dx = \ln(x+1)\Big|_0^1 = \ln 2. Pentru n=1n=1: I1=1−I0=1−ln⁡2.I_1 = 1 - I_0 = 1 - \ln 2. Pentru n=2n=2: I2=12−I1=12−1+ln⁡2=ln⁡2−12.I_2 = \frac{1}{2} - I_1 = \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 = \ln 2 - \frac{1}{2}. Verificare pe altă cale (fără recurență): prin împărțire, x2x+1=x−1+1x+1\dfrac{x^2}{x+1} = x - 1 + \dfrac{1}{x+1}, deci I2=∫01(x−1) dx+∫011x+1 dx=(12−1)+ln⁡2=ln⁡2−12.I_2 = \int_0^1 (x-1)\,dx + \int_0^1 \frac{1}{x+1}\,dx = \left(\frac{1}{2}-1\right) + \ln 2 = \ln 2 - \frac{1}{2}.

Integrale recursive #11

Se consideră șirul In=∫01xn1+x dxI_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx, n∈Nn\in\mathbb{N}. Valoarea lim⁡n→∞n⋅In\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\cdot I_n este egală cu:
  1. A. 12\dfrac{1}{2}
  2. B. 00
  3. C. ln⁡2\ln2
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: A. 12\dfrac{1}{2}

Din In+In−1=1nI_n+I_{n-1}=\dfrac1n, înmulțind cu nn: n In+n In−1=1.n\,I_n+n\,I_{n-1}=1. Presupunem că șirul n Inn\,I_n are limita LL (există, deoarece InI_n este pozitiv, descrescător și In∼c/nI_n\sim c/n). Atunci (n−1)In−1→L(n-1)I_{n-1}\to L și n In−1=nn−1⋅(n−1)In−1→1⋅L=L.n\,I_{n-1}=\frac{n}{n-1}\cdot(n-1)I_{n-1}\to 1\cdot L=L. Trecând la limită în nIn+nIn−1=1nI_n+nI_{n-1}=1: L+L=1L+L=1, deci L=12L=\dfrac12. Verificare numerică: pentru n=105n=10^5, n⋅In≈0,499997→12n\cdot I_n\approx0{,}499997\to \tfrac12 ✓.

Integrale recursive #12

Fie In=∫01xn dx=1n+1I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\,dx=\dfrac1{n+1}. Valoarea lim⁡n→∞(In)1/n\displaystyle\lim_{n\to\infty}\big(I_n\big)^{1/n} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 1e\dfrac1e
  3. C. +∞+\infty
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: D. 11

(In)1/n=(1n+1)1/n=e−ln⁡(n+1)n.\big(I_n\big)^{1/n}=\left(\frac{1}{n+1}\right)^{1/n}=e^{-\frac{\ln(n+1)}{n}}. Cum ln⁡(n+1)\ln(n+1) crește mult mai lent decât nn (creștere logaritmică vs. liniară), avem lim⁡n→∞ln⁡(n+1)n=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln(n+1)}{n}=0, deci exponentul tinde la 00, iar lim⁡n→∞(In)1/n=e0=1.\lim_{n\to\infty}\big(I_n\big)^{1/n}=e^0=1. Deși In→0I_n\to0 (numărătorul „scade"), ridicarea la puterea 1n→0\dfrac1n\to0 compensează exact această descreștere — un rezultat contraintuitiv (mulți ar ghici 00, extrapolând naiv din In→0I_n\to0). Verificare numerică: pentru n=100000n=100000, (In)1/n≈0,99988(I_n)^{1/n}\approx0{,}99988, foarte aproape de 11 (și crescând spre 11 pe măsură ce nn crește, NU spre 00). ✓
În aplicațieÎncă 62 exerciții cu integrale recursiveIntră în cont și continui direct de la integrale recursive — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 12-a