pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 12-a

Exerciții rezolvate cu volumul corpurilor de rotație — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 59 exerciții rezolvate cu volumul corpurilor de rotație pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de volumul corpurilor de rotație.

Volumul corpurilor de rotație #1

Volumul solidului generat prin rotirea graficului f(x)≥0f(x) \ge 0 pe [a,b][a, b] în jurul axei OxOx este:
  1. A. π∫abf(x) dx\pi \displaystyle\int_a^b f(x) \, dx
  2. B. ∫abf(x)2 dx\displaystyle\int_a^b f(x)^2 \, dx
  3. C. π∫ab[f(x)]2 dx\pi \displaystyle\int_a^b [f(x)]^2 \, dx
  4. D. 2π∫abf(x) dx2\pi \displaystyle\int_a^b f(x) \, dx
Rezolvare

Răspuns corect: C. π∫ab[f(x)]2 dx\pi \displaystyle\int_a^b [f(x)]^2 \, dx

V=π∫ab[f(x)]2 dxV = \pi \displaystyle\int_a^b [f(x)]^2 \, dx — formula metodei discului.

Volumul corpurilor de rotație #2

Volumul generat prin rotirea lui f(x)=2f(x) = 2 pe [0,5][0, 5] în jurul axei OxOx este:
  1. A. 5π5\pi
  2. B. 10π10\pi
  3. C. 20π20\pi
  4. D. 40π40\pi
Rezolvare

Răspuns corect: C. 20π20\pi

Cilindru de rază 22 și înălțime 55: V=π⋅4⋅5=20πV = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi.

Volumul corpurilor de rotație #3

Volumul generat prin rotirea lui f(x)=xf(x) = \sqrt{x} pe [0,4][0, 4] în jurul axei OxOx este:
  1. A. 4π4\pi
  2. B. 8π8\pi
  3. C. 12π12\pi
  4. D. 16π16\pi
Rezolvare

Răspuns corect: B. 8π8\pi

V=π∫04(x)2 dx=π∫04x dx=π⋅162=8πV = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx = \pi \cdot \dfrac{16}{2} = 8\pi.

Volumul corpurilor de rotație #4

Rotirea lui f(x)=R2−x2f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} pe [−R,R][-R, R] în jurul axei OxOx generează un:
  1. A. con\text{con}
  2. B. cilindru\text{cilindru}
  3. C. sfera˘ de raza˘ R\text{sferă}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\text{rază}\text{ }\allowbreak{}R
  4. D. elipsoid\text{elipsoid}
Rezolvare

Răspuns corect: C. sfera˘ de raza˘ R\text{sferă}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\text{rază}\text{ }\allowbreak{}R

Graficul este un semicerc; rotirea în jurul axei OxOx generează o sferă de rază RR. (Volumul =43πR3= \dfrac{4}{3}\pi R^3.)

Volumul corpurilor de rotație #5

Volumul generat prin rotirea lui f(x)=x2f(x) = x^2 pe [0,1][0, 1] în jurul axei OxOx este:
  1. A. π\pi
  2. B. π3\dfrac{\pi}{3}
  3. C. π5\dfrac{\pi}{5}
  4. D. π7\dfrac{\pi}{7}
Rezolvare

Răspuns corect: C. π5\dfrac{\pi}{5}

V=π∫01x4 dx=π⋅15=π5V = \pi \int_0^1 x^4 \, dx = \pi \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{\pi}{5}.

Volumul corpurilor de rotație #6

Volumul generat prin rotirea lui f(x)=exf(x) = e^x pe [0,1][0, 1] în jurul axei OxOx este:
  1. A. π(e−1)\pi(e - 1)
  2. B. πe\pi e
  3. C. π2(e2−1)\dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1)
  4. D. πe2\pi e^2
Rezolvare

Răspuns corect: C. π2(e2−1)\dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1)

V=π∫01(ex)2 dx=π∫01e2x dx=π⋅e2x2∣01=π2(e2−1)V = \pi \int_0^1 (e^x)^2 \, dx = \pi \int_0^1 e^{2x} \, dx = \pi \cdot \dfrac{e^{2x}}{2}\Big|_0^1 = \dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1).

Volumul corpurilor de rotație #7

Volumul solidului generat prin rotirea regiunii cuprinse între y=xy = x și y=x2y = x^2 pe [0,1][0, 1] în jurul axei OxOx este egal cu:
  1. A. π/30\pi/30
  2. B. π/15\pi/15
  3. C. 2π/152\pi/15
  4. D. π/3\pi/3
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2π/152\pi/15

V=π∫01(x2−x4) dx=π ⁣[x33−x55]01=π ⁣(13−15)=2π15V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) \, dx = \pi\!\left[\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\!\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{2\pi}{15}.

Volumul corpurilor de rotație #8

Rotirea lui y=2x+1y = 2x + 1 pe [0,2][0, 2] în jurul axei OxOx generează un trunchi de con cu volumul:
  1. A. 5π5\pi
  2. B. 14π14\pi
  3. C. 62π3\dfrac{62\pi}{3}
  4. D. 623\dfrac{62}{3}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 62π3\dfrac{62\pi}{3}

V=π∫02(4x2+4x+1) dx=π ⁣[4x33+2x2+x]02=π ⁣(323+8+2)=π⋅32+303=62π3V = \pi \int_0^2 (4x^2 + 4x + 1) \, dx = \pi\!\left[\dfrac{4x^3}{3} + 2x^2 + x\right]_0^2 = \pi\!\left(\dfrac{32}{3} + 8 + 2\right) = \pi \cdot \dfrac{32 + 30}{3} = \dfrac{62\pi}{3}.

Volumul corpurilor de rotație #9

Regiunea cuprinsă între graficele y=xy=x și y=x2y=x^2, pentru x∈[0,1]x\in[0,1], se rotește în jurul axei OxOx. Volumul corpului obținut este egal cu:
  1. A. 2π15\dfrac{2\pi}{15}
  2. B. π5\dfrac{\pi}{5}
  3. C. π3\dfrac{\pi}{3}
  4. D. 215\dfrac{2}{15}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 2π15\dfrac{2\pi}{15}

Pe [0,1][0,1], x≥x2x\ge x^2, deci raza exterioară este xx, iar cea interioară x2x^2. V=π∫01(x2−x4) dx=π(13−15)=π⋅215=2π15.V=\pi\int_0^1\big(x^2-x^4\big)\,dx=\pi\left(\frac13-\frac15\right)=\pi\cdot\frac{2}{15}=\frac{2\pi}{15}. Verificare: 1/3−1/5=(5−3)/15=2/151/3-1/5=(5-3)/15=2/15 ✓.

Volumul corpurilor de rotație #10

Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei OxOx a regiunii mărginite de graficele funcțiilor y=xy=x și y=x2y=x^{2} este:
  1. A. π30\dfrac{\pi}{30}
  2. B. π6\dfrac{\pi}{6}
  3. C. 2π15\dfrac{2\pi}{15}
  4. D. π15\dfrac{\pi}{15}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2π15\dfrac{2\pi}{15}

Curbele se intersectează în x=0x=0 și x=1x=1, iar pe (0,1)(0,1) avem x>x2x>x^2. Rotind regiunea dintre ele, secțiunea perpendiculară pe OxOx este un inel de rază exterioară xx și rază interioară x2x^2, deci V=π∫01(x2−x4)dx=π(13−15)=π⋅215=2π15.V=\pi\int_0^1\left(x^2-x^4\right)dx=\pi\left(\frac13-\frac15\right)=\pi\cdot\frac{2}{15}=\frac{2\pi}{15}. Observație critică: π∫01(x−x2)2dx=π30\pi\displaystyle\int_0^1\left(x-x^2\right)^2dx=\frac{\pi}{30} — greșit, fiindcă aria unui inel este π(R2−r2)\pi\left(R^2-r^2\right), nu π(R−r)2\pi(R-r)^2. ✓

Volumul corpurilor de rotație #11

Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei OxOx a subgraficului funcției f:[0,1]→Rf:[0,1]\to\mathbb R, f(x)=e−xf(x)=e^{-x}, este:
  1. A. π(1−e−2)2\dfrac{\pi\left(1-e^{-2}\right)}{2}
  2. B. π(1−e−1)\pi\left(1-e^{-1}\right)
  3. C. π(1−e−2)\pi\left(1-e^{-2}\right)
  4. D. π(1−e−1)2\dfrac{\pi\left(1-e^{-1}\right)}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: A. π(1−e−2)2\dfrac{\pi\left(1-e^{-2}\right)}{2}

V=π∫01e−2xdx=π(−e−2x2)∣01=π(−e−22+12)=π(1−e−2)2.V=\pi\int_0^1 e^{-2x}dx=\pi\left.\left(-\frac{e^{-2x}}{2}\right)\right|_0^1=\pi\left(-\frac{e^{-2}}{2}+\frac12\right)=\frac{\pi\left(1-e^{-2}\right)}{2}. Numeric: ≈π⋅0,86472≈1,358\approx\dfrac{\pi\cdot 0{,}8647}{2}\approx 1{,}358. Observație: ridicarea la pătrat dublează exponentul (e−2xe^{-2x}), iar integrarea introduce factorul 12\dfrac12 — ambele sunt ușor de ratat. ✓

Volumul corpurilor de rotație #12

Fie f(x)=xf(x)=\sqrt{x} și t(x)t(x) tangenta la graficul lui ff în punctul x=1x=1. Regiunea dintre graficul lui ff și dreapta tt, pentru x∈[0,4]x\in[0,4], se rotește în jurul axei OxOx. Volumul solidului obținut este:
  1. A. 7π12\dfrac{7\pi}{12}
  2. B. 7π6\dfrac{7\pi}{6}
  3. C. π3\dfrac{\pi}{3}
  4. D. 7π3\dfrac{7\pi}{3}
Rezolvare

Răspuns corect: D. 7π3\dfrac{7\pi}{3}

Din f(x)=xf(x)=\sqrt{x}, f′(x)=12xf'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}, deci f′(1)=12f'(1)=\dfrac12 și tangenta în x=1x=1 este t(x)=1+12(x−1)=x+12t(x)=1+\dfrac12(x-1)=\dfrac{x+1}{2}. Cum ff este concavă, t(x)≥f(x)≥0t(x)\ge f(x)\ge0 pe [0,4][0,4] (ambele nenegative), iar raza exterioară a coroanei este tt, cea interioară este ff. Recunoaștere: t(x)−f(x)=x+12−x=(x−1)22t(x)-f(x)=\dfrac{x+1}{2}-\sqrt{x}=\dfrac{(\sqrt x-1)^2}{2} și t(x)+f(x)=x+12+x=(x+1)22t(x)+f(x)=\dfrac{x+1}{2}+\sqrt{x}=\dfrac{(\sqrt x+1)^2}{2}, deci t2−f2=(t−f)(t+f)=(x−1)2(x+1)24=((x)2−1)24=(x−1)24.t^2-f^2 = \big(t-f\big)\big(t+f\big) = \frac{(\sqrt x-1)^2(\sqrt x+1)^2}{4} = \frac{\big((\sqrt x)^2-1\big)^2}{4}=\frac{(x-1)^2}{4}. Integrala se reduce enorm: V=π∫04(x−1)24 dx=π4[(x−1)33]04=π4⋅27−(−1)3=π4⋅283=7π3.V = \pi\int_0^4 \frac{(x-1)^2}{4}\,dx = \frac{\pi}{4}\left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]_0^4 = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{27-(-1)}{3}=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{28}{3}=\frac{7\pi}{3}. Verificare directă (fără trucul de recunoaștere): π∫04[(x+12)2−x]dx=π[x312−x24+x4]04=π(6412−4+1)=π(163−3)=7π3\pi\int_0^4\left[\left(\frac{x+1}{2}\right)^2-x\right]dx=\pi\left[\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{4}\right]_0^4=\pi\left(\frac{64}{12}-4+1\right)=\pi\left(\frac{16}{3}-3\right)=\frac{7\pi}{3} ✓.
În aplicațieÎncă 47 exerciții cu volumul corpurilor de rotațieIntră în cont și continui direct de la volumul corpurilor de rotație — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 12-a