pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 9-a

Exerciții rezolvate cu cercul trigonometric — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 25 exerciții rezolvate cu cercul trigonometric pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de cercul trigonometric.

Cercul trigonometric #1

Valoarea lui sin⁡π6\sin\dfrac{\pi}{6} este:
  1. A. 12\dfrac{1}{2}
  2. B. 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. C. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: A. 12\dfrac{1}{2}

O valoare remarcabilă de pe cercul trigonometric: sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}.

Cercul trigonometric #2

Valoarea lui cos⁡π4\cos\dfrac{\pi}{4} este:
  1. A. 12\dfrac{1}{2}
  2. B. 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. C. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: B. 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}

cos⁡π4=sin⁡π4=22\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Cercul trigonometric #3

Valoarea lui sin⁡11π6\sin\dfrac{11\pi}{6} este:
  1. A. 12\dfrac{1}{2}
  2. B. −12-\dfrac{1}{2}
  3. C. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. D. −32-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: B. −12-\dfrac{1}{2}

sin⁡ ⁣(2π−π6)=−sin⁡π6=−12\sin\!\left(2\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}.

Cercul trigonometric #4

Valoarea lui cos⁡ ⁣(−π3)\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) este:
  1. A. 12\dfrac{1}{2}
  2. B. −12-\dfrac{1}{2}
  3. C. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. D. −32-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 12\dfrac{1}{2}

cos⁡ ⁣(−π3)=cos⁡π3=12\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}.

Cercul trigonometric #5

Punctul de pe cercul trigonometric corespunzător lui x=7π4x = \dfrac{7\pi}{4} se află în:
  1. A. cadranul I\text{cadranul}\text{ }\allowbreak{}\text{I}
  2. B. cadranul al II-lea\text{cadranul}\text{ }\allowbreak{}\text{al}\text{ }\allowbreak{}\text{II-lea}
  3. C. cadranul al III-lea\text{cadranul}\text{ }\allowbreak{}\text{al}\text{ }\allowbreak{}\text{III-lea}
  4. D. cadranul al IV-lea\text{cadranul}\text{ }\allowbreak{}\text{al}\text{ }\allowbreak{}\text{IV-lea}
Rezolvare

Răspuns corect: D. cadranul al IV-lea\text{cadranul}\text{ }\allowbreak{}\text{al}\text{ }\allowbreak{}\text{IV-lea}

7π4∈ ⁣(3π2,2π)\dfrac{7\pi}{4} \in \!\left(\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right), care este cadranul al IV-lea.

Cercul trigonometric #6

Valoarea lui tg⁡7π6\tg\dfrac{7\pi}{6} este:
  1. A. 13\dfrac{1}{\sqrt{3}}
  2. B. −13-\dfrac{1}{\sqrt{3}}
  3. C. 3\sqrt{3}
  4. D. −3-\sqrt{3}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 13\dfrac{1}{\sqrt{3}}

tg⁡ ⁣(π+π6)=tg⁡π6=13\tg\!\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = \tg\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Cercul trigonometric #7

Valoarea lui sin⁡π3+cos⁡π6\sin\dfrac{\pi}{3} + \cos\dfrac{\pi}{6} este:
  1. A. 11
  2. B. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. C. 3\sqrt{3}
  4. D. 3+12\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 3\sqrt{3}

sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} și cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Suma: 3\sqrt{3}.

Cercul trigonometric #8

Valoarea lui cos⁡75∘\cos75^\circ este:
  1. A. 6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
  2. B. 24\dfrac{\sqrt2}{4}
  3. C. 6−24\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}
  4. D. 2−64\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 6−24\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}

cos⁡75∘=cos⁡(45∘+30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘.\cos75^\circ = \cos(45^\circ+30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ. =22⋅32−22⋅12=64−24=6−24.=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6}{4}-\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. Verificare numerică: cos⁡75∘≈0,2588\cos75^\circ\approx0{,}2588, iar 6−24≈2,449−1,4144≈0,2588\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx\dfrac{2{,}449-1{,}414}{4}\approx0{,}2588. ✓

Cercul trigonometric #9

Valoarea expresiei 2sin⁡2π3+2cos⁡2π6−3tan⁡2π42\sin^2\dfrac{\pi}{3}+2\cos^2\dfrac{\pi}{6}-3\tan^2\dfrac{\pi}{4} este:
  1. A. 11
  2. B. 33
  3. C. −1-1
  4. D. 00
Rezolvare

Răspuns corect: D. 00

sin⁡π3=32⇒sin⁡2π3=34\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow\sin^2\dfrac{\pi}{3}=\dfrac34, deci primul termen: 2⋅34=322\cdot\dfrac34=\dfrac32. cos⁡π6=32⇒cos⁡2π6=34\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow\cos^2\dfrac{\pi}{6}=\dfrac34, deci al doilea termen: 2⋅34=322\cdot\dfrac34=\dfrac32. tan⁡π4=1⇒tan⁡2π4=1\tan\dfrac{\pi}{4}=1\Rightarrow\tan^2\dfrac{\pi}{4}=1, deci al treilea termen: 3⋅1=33\cdot1=3. 2sin⁡2π3+2cos⁡2π6−3tan⁡2π4=32+32−3=3−3=0.2\sin^2\frac{\pi}{3}+2\cos^2\frac{\pi}{6}-3\tan^2\frac{\pi}{4} = \frac32+\frac32-3 = 3-3=0. Verificare numerică: 2(0,8660)2+2(0,8660)2−3(1)2=1,5+1,5−3=02(0{,}8660)^2+2(0{,}8660)^2-3(1)^2 = 1{,}5+1{,}5-3=0. ✓

Cercul trigonometric #10

Valoarea sumei cos⁡20∘+cos⁡100∘+cos⁡140∘\cos20^\circ + \cos100^\circ + \cos140^\circ este:
  1. A. cos⁡20∘\cos20^\circ
  2. B. 12\dfrac12
  3. C. 00
  4. D. −12-\dfrac12
Rezolvare

Răspuns corect: C. 00

Cele trei unghiuri 20∘20^\circ, 100∘=20∘+120∘100^\circ=20^\circ+120^\circ și 140∘140^\circ sunt, în sens trigonometric, echivalente (prin proprietatea cos⁡(360∘−x)=cos⁡x\cos(360^\circ-x)=\cos x) cu 20∘20^\circ, 20∘+120∘20^\circ+120^\circ, 20∘+240∘20^\circ+240^\circ — trei puncte egal distanțate pe cercul trigonometric, la 120∘120^\circ unul de altul. Pentru orice θ\theta, suma cos⁡θ+cos⁡(θ+120∘)+cos⁡(θ+240∘)=0\cos\theta+\cos(\theta+120^\circ)+\cos(\theta+240^\circ)=0: aceasta este partea reală a sumei 1+ε+ε2=01+\varepsilon+\varepsilon^2=0, unde ε=cos⁡120∘+isin⁡120∘\varepsilon=\cos120^\circ+i\sin120^\circ este o rădăcină cubică nebanală a unității (suma tuturor rădăcinilor cubice ale unității este 00). Aplicând cu θ=20∘\theta=20^\circ: cos⁡20∘+cos⁡100∘+cos⁡140∘=0.\cos20^\circ+\cos100^\circ+\cos140^\circ = 0. Verificare numerică: cos⁡20∘≈0,9397\cos20^\circ\approx0{,}9397, cos⁡100∘≈−0,1736\cos100^\circ\approx-0{,}1736, cos⁡140∘≈−0,7660\cos140^\circ\approx-0{,}7660; suma ≈0,9397−0,1736−0,7660≈0,0001≈0\approx0{,}9397-0{,}1736-0{,}7660\approx0{,}0001\approx0. ✓

Cercul trigonometric #11

Se știe că cos⁡x=−45\cos x = -\dfrac{4}{5} și tan⁡x>0\tan x > 0. Valoarea lui sin⁡2x\sin 2x este:
  1. A. −2425-\dfrac{24}{25}
  2. B. 2425\dfrac{24}{25}
  3. C. 725\dfrac{7}{25}
  4. D. 245\dfrac{24}{5}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 2425\dfrac{24}{25}

Din tan⁡x=sin⁡xcos⁡x>0\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}>0 și cos⁡x=−45<0\cos x=-\dfrac45<0, rezultă sin⁡x<0\sin x<0 — deci xx este în cadranul III, nu în II (unde cosinusul negativ ar veni cu sinus pozitiv). Din sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1: sin⁡2x=1−1625=925\sin^2x = 1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}, iar cum sin⁡x<0\sin x<0: sin⁡x=−35\sin x=-\dfrac35. sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x=2⋅(−35)⋅(−45)=2425.\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2\cdot\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac45\right)=\frac{24}{25}. Verificare: (−35)2+(−45)2=925+1625=1\left(-\frac35\right)^2+\left(-\frac45\right)^2=\frac9{25}+\frac{16}{25}=1 ✓, iar produsul a doi termeni negativi e pozitiv, confirmând sin⁡2x>0\sin2x>0. ✓

Cercul trigonometric #12

Valoarea diferenței cos⁡36∘−cos⁡72∘\cos36^\circ - \cos72^\circ este:
  1. A. 54\dfrac{\sqrt5}{4}
  2. B. 12\dfrac12
  3. C. 5−14\dfrac{\sqrt5-1}{4}
  4. D. 52−12\dfrac{\sqrt5}{2}-\dfrac12
Rezolvare

Răspuns corect: B. 12\dfrac12

Fie θ=36∘\theta=36^\circ, deci 5θ=180∘⇒3θ=180∘−2θ⇒cos⁡3θ=cos⁡(180∘−2θ)=−cos⁡2θ5\theta=180^\circ \Rightarrow 3\theta=180^\circ-2\theta \Rightarrow \cos3\theta=\cos(180^\circ-2\theta)=-\cos2\theta. Cu x=cos⁡θx=\cos\theta: cos⁡3θ=4x3−3x\cos3\theta=4x^3-3x și cos⁡2θ=2x2−1\cos2\theta=2x^2-1, deci 4x3−3x=−(2x2−1)  ⟹  4x3+2x2−3x−1=0.4x^3-3x = -(2x^2-1) \implies 4x^3+2x^2-3x-1=0. Pasul de recunoaștere: testăm x=−1x=-1: 4(−1)+2(1)−3(−1)−1=−4+2+3−1=04(-1)+2(1)-3(-1)-1=-4+2+3-1=0 — rădăcină! Factorizăm: 4x3+2x2−3x−1=(x+1)(4x2−2x−1).4x^3+2x^2-3x-1 = (x+1)(4x^2-2x-1). Cum cos⁡36∘≠−1\cos36^\circ\neq-1, rezolvăm 4x2−2x−1=04x^2-2x-1=0: x=2±4+168=1±54x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+16}}{8}=\dfrac{1\pm\sqrt5}{4}. Cum cos⁡36∘>0\cos36^\circ>0, alegem cos⁡36∘=1+54\cos36^\circ=\dfrac{1+\sqrt5}{4}. Pentru cos⁡72∘\cos72^\circ, folosim formula unghiului dublu: cos⁡72∘=2cos⁡236∘−1=2(1+54)2−1=6+258−1=5−14\cos72^\circ=2\cos^236^\circ-1 = 2\left(\dfrac{1+\sqrt5}{4}\right)^2-1 = \dfrac{6+2\sqrt5}{8}-1=\dfrac{\sqrt5-1}{4}. Diferența: cos⁡36∘−cos⁡72∘=1+54−5−14=24=12.\cos36^\circ-\cos72^\circ = \frac{1+\sqrt5}{4}-\frac{\sqrt5-1}{4} = \frac{2}{4}=\frac12. Verificare numerică: cos⁡36∘≈0,80902\cos36^\circ\approx0{,}80902, cos⁡72∘≈0,30902\cos72^\circ\approx0{,}30902, diferența ≈0,50000=12\approx0{,}50000=\dfrac12. ✓
În aplicațieÎncă 13 exerciții cu cercul trigonometricIntră în cont și continui direct de la cercul trigonometric — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 9-a