Exerciții rezolvate cu ecuații trigonometrice — clasa a 9-a

$x = \pi/6$ și $x = \pi - \pi/6 = 5\pi/6$. Două soluții.

$\cos x = 0 \iff x = \pi/2 + k\pi$. Pe $[0, 2\pi)$: $\pi/2$ și $3\pi/2$.

$\arctg(1) = \pi/4$. Soluția generală: $x = \pi/4 + k\pi$ pentru orice întreg $k$.

$2u^2 - u - 1 = (2u + 1)(u - 1) = 0 \Rightarrow u = -1/2$ sau $u = 1$. $\sin x = -1/2$: 2 soluții ($7\pi/6, 11\pi/6$). $\sin x = 1$: 1 soluție ($\pi/2$). Total: $3$.

$2x = k\pi \Rightarrow x = k\pi/2$. Pe $[0, 2\pi)$: $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$. Patru soluții.

$\sin x = \cos x \iff \tg x = 1 \iff x = \pi/4 + k\pi$.

$R = \sqrt{1 + 3} = 2$, deci $f(x) = 2\sin(x + \pi/3)$. Valoarea maximă: $2$.

$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \Rightarrow (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$. $\cos x = 1/2$: 2 soluții ($\pi/3, 5\pi/3$). $\cos x = -1$: 1 soluție ($\pi$). Total: $3$.

$2\sin x \cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x (2\cos x - 1) = 0$. $\sin x = 0$: $x \in \{0, \pi\}$. $\cos x = 1/2$: $x \in \{\pi/3, 5\pi/3\}$. Total: $4$.

Factorizăm membrul stâng: $$2\sin^2x-(2m+1)\sin x+m = (2\sin x-1)(\sin x-m).$$ Deci ecuația e echivalentă cu $\sin x=\dfrac12$ sau $\sin x=m$. Ramura fixă $\sin x=\dfrac12$ dă întotdeauna $2$ soluții pe $[0,2\pi)$: $x=\dfrac\pi6$ și $x=\dfrac{5\pi}6$. Pentru un total de exact $4$ soluții distincte, ramura $\sin x=m$ trebuie să contribuie cu exact $2$ soluții noi, distincte de $\dfrac\pi6$ și $\dfrac{5\pi}6$. Analizăm cazurile: - Dacă $m\notin[-1,1]$: $\sin x=m$ nu are soluții — total rămâne $2$. - Dacă $m=1$: $\sin x=1$ are o singură soluție ($x=\pi/2$, punct de tangență) — total $3$. - Dacă $m=-1$: analog, o singură soluție ($x=3\pi/2$) — total $3$. - Dacă $m=\dfrac12$: ramurile coincid complet — total rămâne $2$ (nu se adaugă nimic nou). - Dacă $m\in(-1,1)$ și $m\ne\dfrac12$: $\sin x=m$ dă exact $2$ soluții noi, distincte de $\dfrac\pi6,\dfrac{5\pi}6$ — total $4$. ✓ Deci condiția este $m\in(-1,1)\setminus\left\{\dfrac12\right\}$. Cum $m$ trebuie să fie întreg, singura valoare din intervalul deschis $(-1,1)$ este $m=0$ (iar $0\ne\dfrac12$, deci e validă). Există exact o singură valoare întreagă: $m=0$. Verificare directă pentru $m=0$: ecuația devine $2\sin^2x-\sin x=0 \iff \sin x(2\sin x-1)=0$, cu soluții $x\in\{0,\pi\}$ (din $\sin x=0$) reunite cu $x\in\left\{\dfrac\pi6,\dfrac{5\pi}6\right\}$ (din $\sin x=\frac12$) — total $4$ soluții distincte $\left\{0,\dfrac\pi6,\dfrac{5\pi}6,\pi\right\}$. ✓ Verificare suplimentară (scanare pe toate valorile întregi $m\in\{-5,\dots,5\}$): doar $m=0$ produce $4$ soluții; $m=\pm1$ produc $3$; restul produc $2$. ✓

Ecuația devine, cu $\sin2x=2\sin x\cos x$: $$2\sin x\cos x-\sin x=0 \iff \sin x(2\cos x-1)=0$$ Cazul 1: $\sin x=0 \Rightarrow x\in\{0,\pi\}$ (pe $[0,2\pi)$; $x=2\pi$ nu aparține intervalului semi-deschis). Cazul 2: $\cos x=\dfrac12 \Rightarrow x\in\left\{\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right\}$. Toate cele patru valori sunt distincte: $\left\{0,\dfrac{\pi}{3},\pi,\dfrac{5\pi}{3}\right\}$. Verificare numerică: pentru $x=\pi/3$: $\sin(2\pi/3)=\frac{\sqrt3}{2}=\sin(\pi/3)$ ✓; pentru $x=5\pi/3$: $\sin(10\pi/3)=\sin(10\pi/3-2\pi)=\sin(4\pi/3)=-\frac{\sqrt3}{2}=\sin(5\pi/3)$ ✓. Sunt $4$ soluții.

Recunoașterea cheie: din dezvoltarea $\tan(A+B+C)=\dfrac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C}{1-\tan A\tan B-\tan B\tan C-\tan C\tan A}$, egalitatea cerută (numărătorul nul) este echivalentă — acolo unde toate tangentele individuale sunt definite — cu $\tan(A+B+C)=0$, adică $A+B+C\equiv0\pmod\pi$. Cu $A=x,B=2x,C=3x$: $A+B+C=6x\equiv0\pmod\pi \Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{6}$, $k=1,\dots,5$ (în $(0,\pi)$): candidați $\dfrac\pi6,\dfrac\pi3,\dfrac\pi2,\dfrac{2\pi}3,\dfrac{5\pi}6$. Eliminăm candidații unde vreo tangentă e nedefinită: - $x=\dfrac\pi6$: $3x=\dfrac\pi2$ → $\tan3x$ nedefinit. Exclus. - $x=\dfrac\pi2$: $\tan x$ însuși nedefinit. Exclus. - $x=\dfrac{5\pi}6$: $3x=\dfrac{5\pi}2$ → $\tan3x$ nedefinit. Exclus. Rămân $x=\dfrac\pi3$ și $x=\dfrac{2\pi}3$. Verificăm direct: Pentru $x=\dfrac\pi3$: $\tan\dfrac\pi3=\sqrt3$, $\tan\dfrac{2\pi}3=-\sqrt3$, $\tan\pi=0$. Stânga: $\sqrt3-\sqrt3+0=0$. Dreapta: $\sqrt3\cdot(-\sqrt3)\cdot0=0$. ✓ Pentru $x=\dfrac{2\pi}3$: $\tan\dfrac{2\pi}3=-\sqrt3$, $\tan\dfrac{4\pi}3=\sqrt3$, $\tan2\pi=0$. Stânga: $-\sqrt3+\sqrt3+0=0$. Dreapta: $0$. ✓ Deci ecuația are exact $\mathbf{2}$ soluții reale în $(0,\pi)$ (nu $5$ — capcana e să nu excluzi punctele unde tangentele individuale explodează).