pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 9-a

Exerciții rezolvate cu identități trigonometrice — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 15 exerciții rezolvate cu identități trigonometrice pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de identități trigonometrice.

Identități trigonometrice #1

Valoarea lui sin⁡π3\sin\dfrac{\pi}{3} este:
  1. A. 12\dfrac{1}{2}
  2. B. 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. C. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: C. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} — o valoare remarcabilă de pe cercul trigonometric.

Identități trigonometrice #2

Dacă sin⁡x=13\sin x = \dfrac{1}{3}, atunci cos⁡2x\cos 2x este egal cu:
  1. A. 19\dfrac{1}{9}
  2. B. 29\dfrac{2}{9}
  3. C. 79\dfrac{7}{9}
  4. D. 89\dfrac{8}{9}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 79\dfrac{7}{9}

cos⁡2x=1−2sin⁡2x=1−2⋅19=79\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}.

Identități trigonometrice #3

Dat x∈ ⁣(π2,π)x \in \!\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right) și sin⁡x=45\sin x = \dfrac{4}{5}, calculați sin⁡2x\sin 2x.
  1. A. −2425-\dfrac{24}{25}
  2. B. −725-\dfrac{7}{25}
  3. C. 725\dfrac{7}{25}
  4. D. 2425\dfrac{24}{25}
Rezolvare

Răspuns corect: A. −2425-\dfrac{24}{25}

Deoarece x∈ ⁣(π2,π)x \in \!\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right), cos⁡x<0\cos x < 0. Din sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1: cos⁡2x=1−1625=925\cos^2 x = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}, deci cos⁡x=−35\cos x = -\dfrac{3}{5}. Atunci sin⁡2x=2⋅45⋅ ⁣(−35)=−2425\sin 2x = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \!\left(-\dfrac{3}{5}\right) = -\dfrac{24}{25}.

Identități trigonometrice #4

Dacă sin⁡x+cos⁡x=12\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}, atunci sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x este egal cu:
  1. A. −38-\dfrac{3}{8}
  2. B. −18-\dfrac{1}{8}
  3. C. 18\dfrac{1}{8}
  4. D. 38\dfrac{3}{8}
Rezolvare

Răspuns corect: A. −38-\dfrac{3}{8}

(sin⁡x+cos⁡x)2=14(\sin x + \cos x)^2 = \dfrac{1}{4}. Dezvoltând: sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=14\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \dfrac{1}{4}, deci 1+2sin⁡xcos⁡x=141 + 2\sin x \cos x = \dfrac{1}{4}. Prin urmare sin⁡xcos⁡x=−38\sin x \cos x = -\dfrac{3}{8}.

Identități trigonometrice #5

Calculați sin⁡75∘+sin⁡15∘\sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ}.
  1. A. 12\dfrac{1}{2}
  2. B. 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. C. 62\dfrac{\sqrt{6}}{2}
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: C. 62\dfrac{\sqrt{6}}{2}

sin⁡75∘+sin⁡15∘=2sin⁡90∘2cos⁡60∘2=2sin⁡45∘cos⁡30∘=2⋅22⋅32=62\sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ} = 2\sin\dfrac{90^{\circ}}{2}\cos\dfrac{60^{\circ}}{2} = 2 \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt 2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2} = \dfrac{\sqrt 6}{2}.

Identități trigonometrice #6

Dacă cos⁡x=35\cos x = \dfrac{3}{5} și x∈ ⁣(0,π2)x \in \!\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right), atunci sin⁡x2\sin\dfrac{x}{2} este egal cu:
  1. A. 15\dfrac{1}{\sqrt{5}}
  2. B. 110\dfrac{1}{\sqrt{10}}
  3. C. 25\dfrac{2}{\sqrt{5}}
  4. D. 310\dfrac{3}{\sqrt{10}}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 15\dfrac{1}{\sqrt{5}}

sin⁡2x2=1−3/52=2/52=15\sin^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1 - 3/5}{2} = \dfrac{2/5}{2} = \dfrac{1}{5}. Deoarece x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right), avem x2∈(0,π4)\dfrac{x}{2} \in \left(0, \dfrac{\pi}{4}\right), deci sin⁡x2>0\sin\dfrac{x}{2} > 0 și este egal cu 15\dfrac{1}{\sqrt{5}}.

Identități trigonometrice #7

Numărul de soluții ale ecuației sin⁡2x=3 cos⁡x\sin 2x = \sqrt{3}\,\cos x pe [0,2π)[0, 2\pi) este:
  1. A. 22
  2. B. 33
  3. C. 44
  4. D. 55
Rezolvare

Răspuns corect: C. 44

2sin⁡xcos⁡x−3cos⁡x=0⇒cos⁡x (2sin⁡x−3)=02\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x = 0 \Rightarrow \cos x\,(2\sin x - \sqrt{3}) = 0. - cos⁡x=0⇒x∈ ⁣{π2,3π2}\cos x = 0 \Rightarrow x \in \!\left\{\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right\} - sin⁡x=32⇒x∈ ⁣{π3,2π3}\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x \in \!\left\{\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}\right\} Total: 44 soluții pe [0,2π)[0, 2\pi).

Identități trigonometrice #8

Valoarea maximă a funcției f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x pe R\mathbb{R} este:
  1. A. 11
  2. B. 2−1\sqrt{2} - 1
  3. C. 2\sqrt{2}
  4. D. 22
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2\sqrt{2}

sin⁡x+cos⁡x=2 ⁣(sin⁡x⋅22+cos⁡x⋅22)=2sin⁡ ⁣(x+π4)\sin x + \cos x = \sqrt{2}\!\left(\sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right). Deoarece sinusul are maximul 11, valoarea maximă a lui ff este 2\sqrt{2}, atinsă pentru x=π4x = \dfrac{\pi}{4}.

Identități trigonometrice #9

Valoarea sumei cos⁡2π9+cos⁡22π9+cos⁡24π9\cos^2\dfrac{\pi}{9}+\cos^2\dfrac{2\pi}{9}+\cos^2\dfrac{4\pi}{9} este:
  1. A. 11
  2. B. 54\dfrac{5}{4}
  3. C. 32\dfrac{3}{2}
  4. D. 94\dfrac{9}{4}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 32\dfrac{3}{2}

Reducem puterile cu cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}: cos⁡2π9+cos⁡22π9+cos⁡24π9=32+12(cos⁡2π9+cos⁡4π9+cos⁡8π9)\cos^2\frac{\pi}{9}+\cos^2\frac{2\pi}{9}+\cos^2\frac{4\pi}{9} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left(\cos\frac{2\pi}{9}+\cos\frac{4\pi}{9}+\cos\frac{8\pi}{9}\right) Notăm S=cos⁡2π9+cos⁡4π9+cos⁡8π9S = \cos\dfrac{2\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{8\pi}{9} și grupăm primul cu al treilea termen prin formula sumă-produs cos⁡a+cos⁡b=2cos⁡a+b2cos⁡a−b2\cos a+\cos b = 2\cos\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}: cos⁡2π9+cos⁡8π9=2cos⁡5π9cos⁡π3=2cos⁡5π9⋅12=cos⁡5π9\cos\frac{2\pi}{9}+\cos\frac{8\pi}{9} = 2\cos\frac{5\pi}{9}\cos\frac{\pi}{3} = 2\cos\frac{5\pi}{9}\cdot\frac12 = \cos\frac{5\pi}{9} Cum 5π9=π−4π9\dfrac{5\pi}{9} = \pi - \dfrac{4\pi}{9}, avem cos⁡5π9=−cos⁡4π9\cos\dfrac{5\pi}{9} = -\cos\dfrac{4\pi}{9}, deci: S=−cos⁡4π9+cos⁡4π9=0S = -\cos\frac{4\pi}{9} + \cos\frac{4\pi}{9} = 0 Prin urmare suma cerută este 32+12⋅0=32\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\cdot 0 = \dfrac{3}{2}. Verificare numerică: cos⁡220°+cos⁡240°+cos⁡280°≈0,883+0,587+0,030=1,5\cos^2 20° + \cos^2 40° + \cos^2 80° \approx 0{,}883+0{,}587+0{,}030 = 1{,}5. ✓

Identități trigonometrice #10

Valoarea maximă a expresiei E(x)=3sin⁡x+4cos⁡x+1E(x)=3\sin x+4\cos x+1, pentru x∈Rx\in\mathbb{R}, este:
  1. A. 55
  2. B. 77
  3. C. 88
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: D. 66

Pentru asin⁡x+bcos⁡xa\sin x+b\cos x, amplitudinea este R=a2+b2R=\sqrt{a^2+b^2}, iar expresia se poate scrie Rsin⁡(x+φ)R\sin(x+\varphi) pentru un φ\varphi potrivit, deci ia toate valorile din [−R,R][-R,R]. R=32+42=9+16=25=5R=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 Deci 3sin⁡x+4cos⁡x∈[−5,5]3\sin x+4\cos x\in[-5,5], cu maximul 55 atins când sin⁡(x+φ)=1\sin(x+\varphi)=1. Atunci: E(x)max⁡=5+1=6E(x)_{\max}=5+1=6 Verificare numerică: pentru φ=arctan⁡43\varphi=\arctan\frac43, la x=π2−φx=\frac{\pi}{2}-\varphi avem 3sin⁡x+4cos⁡x=53\sin x+4\cos x=5 (verificabil direct: cu sin⁡x=35,cos⁡x=45\sin x=\frac35,\cos x=\frac45 obținem 3⋅35+4⋅45=9+165=53\cdot\frac35+4\cdot\frac45=\frac{9+16}{5}=5), deci E=5+1=6E=5+1=6. ✓

Identități trigonometrice #11

Valoarea produsului tan⁡π5⋅tan⁡2π5\tan\dfrac{\pi}{5}\cdot\tan\dfrac{2\pi}{5} este:
  1. A. 5\sqrt{5}
  2. B. 1+52\dfrac{1+\sqrt5}{2}
  3. C. 52\dfrac{5}{2}
  4. D. 3\sqrt{3}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 5\sqrt{5}

Din valorile exacte cos⁡π5=1+54\cos\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{1+\sqrt5}{4} și cos⁡2π5=5−14\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt5-1}{4} obținem, folosind sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta=1-\cos^2\theta: sin⁡π5=1−(1+54)2=10−254,sin⁡2π5=1−(5−14)2=10+254\sin\frac{\pi}{5}=\sqrt{1-\left(\frac{1+\sqrt5}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4},\qquad \sin\frac{2\pi}{5}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt5-1}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4} Atunci: tan⁡π5tan⁡2π5=sin⁡π5sin⁡2π5cos⁡π5cos⁡2π5=(10−25)(10+25)16(1+5)(5−1)16=100−204=804\tan\frac{\pi}{5}\tan\frac{2\pi}{5}=\frac{\sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{2\pi}{5}}{\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}=\frac{\dfrac{\sqrt{(10-2\sqrt5)(10+2\sqrt5)}}{16}}{\dfrac{(1+\sqrt5)(\sqrt5-1)}{16}}=\frac{\sqrt{100-20}}{4}=\frac{\sqrt{80}}{4} Numărătorul produsului cosinusurilor este (1+5)(5−1)=5−1=4(1+\sqrt5)(\sqrt5-1)=5-1=4, iar 80=45\sqrt{80}=4\sqrt5, deci: tan⁡π5tan⁡2π5=454=5\tan\frac{\pi}{5}\tan\frac{2\pi}{5}=\frac{4\sqrt5}{4}=\sqrt5 Verificare numerică: tan⁡36°⋅tan⁡72°≈0,7265⋅3,0777≈2,236≈5\tan 36°\cdot\tan 72°\approx 0{,}7265\cdot 3{,}0777\approx 2{,}236\approx\sqrt5. ✓

Identități trigonometrice #12

Valoarea produsului cos⁡π7⋅cos⁡2π7⋅cos⁡3π7\cos\dfrac{\pi}{7}\cdot\cos\dfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\dfrac{3\pi}{7} este:
  1. A. 116\dfrac{1}{16}
  2. B. 18\dfrac18
  3. C. 38\dfrac{\sqrt3}{8}
  4. D. 14\dfrac14
Rezolvare

Răspuns corect: B. 18\dfrac18

Notăm t=π7t=\dfrac{\pi}{7} și P=cos⁡tcos⁡2tcos⁡3tP=\cos t\cos2t\cos3t. Înmulțim cu 2sin⁡t≠02\sin t\neq0: 2sin⁡t⋅P=(2sin⁡tcos⁡t)cos⁡2tcos⁡3t=sin⁡2tcos⁡2tcos⁡3t2\sin t\cdot P=(2\sin t\cos t)\cos2t\cos3t=\sin2t\cos2t\cos3t Aplicăm din nou 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta (înmulțind și împărțind cu 22): 2sin⁡t⋅P=12(2sin⁡2tcos⁡2t)cos⁡3t=12sin⁡4tcos⁡3t2\sin t\cdot P=\frac12(2\sin2t\cos2t)\cos3t=\frac12\sin4t\cos3t Folosim formula produs-sumă 2sin⁡Acos⁡B=sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B)2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B) pentru 2sin⁡4tcos⁡3t2\sin4t\cos3t: 2sin⁡t⋅P=14(2sin⁡4tcos⁡3t)=14(sin⁡7t+sin⁡t)2\sin t\cdot P=\frac14\left(2\sin4t\cos3t\right)=\frac14\big(\sin7t+\sin t\big) Dar 7t=π7t=\pi, deci sin⁡7t=sin⁡π=0\sin7t=\sin\pi=0, iar: 2sin⁡t⋅P=14sin⁡t  ⟹  P=18(ıˆmpa˘rțind prin 2sin⁡t≠0)2\sin t\cdot P=\frac14\sin t \implies P=\frac18\quad(\text{împărțind prin }2\sin t\neq0) Verificare numerică: cos⁡π7cos⁡2π7cos⁡3π7≈0,9010⋅0,6235⋅0,2225≈0,1250=18\cos\dfrac{\pi}{7}\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{3\pi}{7}\approx0{,}9010\cdot0{,}6235\cdot0{,}2225\approx0{,}1250=\dfrac18. ✓
În aplicațieÎncă 3 exerciții cu identități trigonometriceIntră în cont și continui direct de la identități trigonometrice — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 9-a