pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 9-a

Exerciții rezolvate cu funcția de gradul al ii-lea — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 55 exerciții rezolvate cu funcția de gradul al ii-lea pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de funcția de gradul al ii-lea.

Funcția de Gradul al II-lea #1

Rădăcinile ecuației x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 sunt:
  1. A. 1 și 61\text{ }\allowbreak{}\text{și}\text{ }\allowbreak{}6
  2. B. −2 și −3-2\text{ }\allowbreak{}\text{și}\text{ }\allowbreak{}-3
  3. C. 2 și 32\text{ }\allowbreak{}\text{și}\text{ }\allowbreak{}3
  4. D. −1 și −6-1\text{ }\allowbreak{}\text{și}\text{ }\allowbreak{}-6
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2 și 32\text{ }\allowbreak{}\text{și}\text{ }\allowbreak{}3

(x−2)(x−3)=0⇒x∈{2,3}(x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x \in \{2, 3\}.

Funcția de Gradul al II-lea #2

Discriminantul ecuației 2x2−3x−5=02x^2 - 3x - 5 = 0 este:
  1. A. 4949
  2. B. 99
  3. C. −31-31
  4. D. 2929
Rezolvare

Răspuns corect: A. 4949

Δ=(−3)2−4⋅2⋅(−5)=9+40=49\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49.

Funcția de Gradul al II-lea #3

Pentru ecuația 2x2−7x+3=02x^2 - 7x + 3 = 0 cu rădăcinile x1,x2x_1, x_2, calculați x1+x2x_1 + x_2.
  1. A. −7-7
  2. B. −32-\dfrac{3}{2}
  3. C. 72\dfrac{7}{2}
  4. D. 77
Rezolvare

Răspuns corect: C. 72\dfrac{7}{2}

x1+x2=−−72=72x_1 + x_2 = -\dfrac{-7}{2} = \dfrac{7}{2}. (Și produsul este ca=32\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{2}.)

Funcția de Gradul al II-lea #4

Mulțimea soluțiilor inecuației x2−4<0x^2 - 4 < 0 în R\mathbb{R} este:
  1. A. (−∞,−2)∪(2,+∞)(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)
  2. B. {−2,2}\{-2, 2\}
  3. C. (−2,2)(-2, 2)
  4. D. [−2,2][-2, 2]
Rezolvare

Răspuns corect: C. (−2,2)(-2, 2)

(x−2)(x+2)<0⇔x∈(−2,2)(x - 2)(x + 2) < 0 \Leftrightarrow x \in (-2, 2).

Funcția de Gradul al II-lea #5

Pentru ce valori m∈Rm \in \mathbb{R} ecuația x2+(m−2)x+1=0x^2 + (m - 2)x + 1 = 0 are o rădăcină dublă?
  1. A. Numai m=0\text{Numai}\text{ }\allowbreak{}m = 0
  2. B. Numai m=4\text{Numai}\text{ }\allowbreak{}m = 4
  3. C. m∈{−2,2}m \in \{-2, 2\}
  4. D. m∈{0,4}m \in \{0, 4\}
Rezolvare

Răspuns corect: D. m∈{0,4}m \in \{0, 4\}

Δ=(m−2)2−4=0⇒(m−2)2=4⇒m−2=±2⇒m∈{0,4}\Delta = (m - 2)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (m - 2)^2 = 4 \Rightarrow m - 2 = \pm 2 \Rightarrow m \in \{0, 4\}.

Funcția de Gradul al II-lea #6

Valoarea minimă a funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8 este:
  1. A. −1-1
  2. B. 00
  3. C. 11
  4. D. 88
Rezolvare

Răspuns corect: A. −1-1

Δ=36−32=4\Delta = 36 - 32 = 4, a=1a = 1, deci fmin⁡=−44=−1f_{\min} = -\dfrac{4}{4} = -1 (atins pentru x=3x = 3).

Funcția de Gradul al II-lea #7

Dacă x1,x2x_1, x_2 sunt rădăcinile ecuației x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0, valoarea lui x12+x22x_1^2 + x_2^2 este:
  1. A. 99
  2. B. 1313
  3. C. 1717
  4. D. 2525
Rezolvare

Răspuns corect: C. 1717

Prin relațiile lui Viète: x1+x2=5x_1 + x_2 = 5, x1x2=4x_1 x_2 = 4. Deci x12+x22=25−8=17x_1^2 + x_2^2 = 25 - 8 = 17.

Funcția de Gradul al II-lea #8

Imaginea funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=−x2+4x−1f(x) = -x^2 + 4x - 1, este:
  1. A. R\mathbb{R}
  2. B. [3,+∞)[3, +\infty)
  3. C. (−∞,3](-\infty, 3]
  4. D. (−∞,−1](-\infty, -1]
Rezolvare

Răspuns corect: C. (−∞,3](-\infty, 3]

Δ=16−4=12\Delta = 16 - 4 = 12, a=−1a = -1, deci fmax⁡=−Δ4a=−12−4=3f_{\max} = -\dfrac{\Delta}{4a} = -\dfrac{12}{-4} = 3. Imaginea este (−∞,3](-\infty, 3].

Funcția de Gradul al II-lea #9

Fie r1,r2,r3r_1, r_2, r_3 radacinile ecuatiei x3−6x2+11x−6=0x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0. Calculati r12+r22+r32r_1^2 + r_2^2 + r_3^2.
  1. A. 1111
  2. B. 1414
  3. C. 2525
  4. D. 3636
Rezolvare

Răspuns corect: B. 1414

Prin relatiile lui Viete: r1+r2+r3=6r_1+r_2+r_3 = 6 si r1r2+r1r3+r2r3=11r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = 11. Deci ∑ri2=62−2⋅11=36−22=14\sum r_i^2 = 6^2 - 2\cdot 11 = 36 - 22 = 14.

Funcția de Gradul al II-lea #10

Cea mai mică valoare întreagă a lui mm pentru care ambele rădăcini ale ecuației x2−2mx+3m−2=0x^2-2mx+3m-2=0 sunt reale și mai mari decât 11 este:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 22
  4. D. 33
Rezolvare

Răspuns corect: C. 22

**Condiția Δ≥0\Delta\ge0:** Δ=4m2−4(3m−2)=4(m2−3m+2)=4(m−1)(m−2)≥0  ⟹  m≤1 sau m≥2.\Delta=4m^2-4(3m-2)=4(m^2-3m+2)=4(m-1)(m-2)\ge0 \implies m\le1 \text{ sau } m\ge2. **Condiția f(1)>0f(1)>0:** f(1)=1−2m+3m−2=m−1>0  ⟹  m>1.f(1)=1-2m+3m-2=m-1>0 \implies m>1. **Condiția abscisă vârf >1>1:** vârful este la x=mx=m, deci m>1m>1 (aceeași condiție). Combinând toate condițiile: m≥2m\ge2. Cea mai mică valoare întreagă este m=2m=2. Verificare: la m=2m=2: x2−4x+4=0⇒(x−2)2=0x^2-4x+4=0\Rightarrow(x-2)^2=0, rădăcină dublă x=2>1x=2>1 ✓; la m=1m=1 (exclus, testat la graniță): x2−2x+1=0⇒(x−1)2=0x^2-2x+1=0\Rightarrow(x-1)^2=0, rădăcina x=1x=1 nu este strict >1>1 ✓.

Funcția de Gradul al II-lea #11

Se dă ecuația x2−2mx+m2−4=0x^2-2mx+m^2-4=0, m∈Rm\in\mathbb{R}. Valorile lui mm pentru care ambele rădăcini ale ecuației aparțin intervalului (−3,3)(-3,3) formează mulțimea:
  1. A. (−3,3)(-3,3)
  2. B. (−5,1)(-5,1)
  3. C. (−1,5)(-1,5)
  4. D. (−1,1)(-1,1)
Rezolvare

Răspuns corect: D. (−1,1)(-1,1)

Scriem x2−2mx+m2−4=(x−m)2−4=(x−(m−2))(x−(m+2))x^2-2mx+m^2-4=(x-m)^2-4=(x-(m-2))(x-(m+2)), deci rădăcinile sunt x1=m−2x_1=m-2 și x2=m+2x_2=m+2, întotdeauna reale și distincte (diferența lor este constant 44). Condiția ca ambele să fie în (−3,3)(-3,3) dă sistemul: m−2>−3⇒m>−1m-2>-3 \Rightarrow m>-1, și m+2<3⇒m<1m+2<3 \Rightarrow m<1. Intersectând, m∈(−1,1)m\in(-1,1). Verificare: pentru m=0m=0 (în interval), rădăcinile sunt −2-2 și 22, ambele în (−3,3)(-3,3); pentru m=1m=1 (exclus, capăt), rădăcinile devin −1-1 și 33 — 3∉(−3,3)3\notin(-3,3), corect exclus. ✓

Funcția de Gradul al II-lea #12

Numerele reale a,b,ca, b, c verifică simultan a+b+c=6,a2+b2+c2=14,a3+b3+c3=36.a+b+c=6, \qquad a^2+b^2+c^2=14, \qquad a^3+b^3+c^3=36. Valoarea produsului abcabc este:
  1. A. 1111
  2. B. 33
  3. C. 66
  4. D. 3636
Rezolvare

Răspuns corect: C. 66

Notăm e1=a+b+c=6e_1=a+b+c=6 și e2=ab+bc+cae_2=ab+bc+ca. **Pasul 1 — aflăm e2e_2** din pătratul sumei: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)  ⟹  36=14+2e2  ⟹  e2=11.(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \implies 36 = 14 + 2e_2 \implies e_2 = 11. **Pasul 2 — aflăm abcabc** din identitatea sumei de cuburi: a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)\big(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\big) 36−3abc=6⋅(14−11)=18  ⟹  3abc=18  ⟹  abc=6.36 - 3abc = 6\cdot(14-11) = 18 \implies 3abc = 18 \implies abc = 6. Verificare: a,b,ca,b,c sunt rădăcinile lui t3−6t2+11t−6=(t−1)(t−2)(t−3)t^3-6t^2+11t-6=(t-1)(t-2)(t-3), deci {a,b,c}={1,2,3}\{a,b,c\}=\{1,2,3\}; într-adevăr 1+2+3=61+2+3=6, 1+4+9=141+4+9=14, 1+8+27=361+8+27=36 și 1⋅2⋅3=61\cdot2\cdot3=6. ✓
În aplicațieÎncă 43 exerciții cu funcția de gradul al ii-leaIntră în cont și continui direct de la funcția de gradul al ii-lea — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 9-a