Algebră · BAC M1

Ecuația de gradul II — formule, discriminant, Viète și inecuații

Q: Ce este discriminantul și de ce contează?

Discriminantul este Δ = b² − 4ac. El decide câte soluții reale există: dacă Δ > 0, ecuația are două soluții reale distincte; dacă Δ = 0, are o singură soluție dublă; dacă Δ < 0, nu are nicio soluție reală. La BAC, calculul discriminantului este primul pas obligatoriu la orice problemă cu ecuație de gradul II.

Q: Când are ecuația de gradul II soluții reale?

Atunci când discriminantul Δ = b² − 4ac este mai mare sau egal cu zero. Dacă Δ ≥ 0, formula soluțiilor dă valori reale. Dacă Δ < 0, rădăcina pătrată din Δ nu este reală, deci ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale — are însă soluții complexe, care nu se cer la BAC M1.

Q: La ce folosesc relațiile lui Viète?

Relațiile lui Viète (x₁ + x₂ = −b/a și x₁ · x₂ = c/a) permit calculul sumei și produsului rădăcinilor fără a le găsi explicit. Sunt utile pentru: verificarea unui calcul, simplificarea expresiilor simetrice (x₁² + x₂², x₁³ + x₂³), reconstituirea ecuației când se cunosc suma și produsul rădăcinilor, și rezolvarea sistemelor în care apar suma și produsul.

Q: Cum rezolv o inecuație de gradul II?

În trei pași: (1) calculezi discriminantul și rădăcinile x₁ ≤ x₂; (2) construiești tabelul de semn al funcției f(x) = ax² + bx + c — semnul lui f coincide cu semnul lui a în afara intervalului [x₁, x₂] și este opus semnului lui a în interiorul lui; (3) citești mulțimea soluțiilor: pentru f(x) 0, soluțiile sunt x ∈ (x₁, x₂); pentru f(x) > 0 cu a > 0, soluțiile sunt x ∈ (−∞, x₁) ∪ (x₂, +∞).

Ecuația

ax^2+bx+c=0

se rezolvă cu

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

, unde

\Delta=b^2-4ac

. Suma soluțiilor este

-b/a

, produsul

c/a

(relațiile lui Viète). Inecuațiile de gradul II se rezolvă prin semnul funcției față de rădăcini. Forma canonică

a(x+b/2a)^2-\Delta/(4a)

dă direct vârful parabolei.

Descarcă tabelul

Tabel ecuația de gradul ii (PDF)

Forma generală și discriminantul

Orice ecuație de gradul II se aduce la forma standard

ax^2+bx+c=0

a\neq 0

. Semnul discriminantului

\Delta

decide câte soluții reale există înainte de orice calcul.

Forma generalăcondiție: $a, b, c \in \mathbb{R}$
$ax^2 + bx + c = 0,\quad a \neq 0$
Discriminantul
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\Delta > 0$ — două soluții reale distincte
$\Delta > 0 \;\Rightarrow\; x_1, x_2 \in \mathbb{R},\; x_1 \neq x_2$
$\Delta = 0$ — o soluție dublă
$\Delta = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$
$\Delta < 0$ — nicio soluție reală
$\Delta < 0 \;\Rightarrow\; \nexists\, x \in \mathbb{R} \text{ soluție}$

Formula soluțiilor

Cele două soluții reale se calculează direct din coeficienți. Verifică întâi semnul lui

\Delta

înainte de a aplica formula.

Formula soluțiilor (cazul $\Delta \geq 0$ )condiție: $\Delta \geq 0$
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Soluția dublă (cazul $\Delta = 0$ )condiție: $\Delta = 0$
$x = -\dfrac{b}{2a}$

Relațiile lui Viète

Chiar fără să calculezi

x_1

și

x_2

explicit, suma și produsul lor sunt date direct de coeficienți. Util la BAC pentru recunoașterea expresiilor simetrice și pentru reconstituirea ecuației.

Suma rădăcinilor
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$
Produsul rădăcinilor
$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$
Reconstituirea ecuației din rădăcini cunoscutecondiție: echivalent cu $x^2 - Sx + P = 0$ , unde $S = x_1+x_2$ , $P = x_1 x_2$
$x^2 - (x_1 + x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 = 0$

Forma canonică și vârful parabolei

Completând pătratul, se obține forma canonică — din care se citesc direct vârful parabolei, minimul sau maximul funcției și axa de simetrie, utile mai ales în problemele cu parametri.

Forma canonică
$ax^2 + bx + c = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}$
Vârful parabolei $y = ax^2 + bx + c$ condiție: minim dacă $a > 0$ , maxim dacă $a < 0$
$V\!\left(-\dfrac{b}{2a},\; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$

Semnul funcției de gradul II

Regula practică: în afara intervalului dintre rădăcini,

f(x)

are semnul lui

a

; între rădăcini, semnul opus lui

a

. Construind un tabel de semn, rezolvi orice inecuație în câteva secunde.

În afara rădăcinilor ( $x < x_1$ sau $x > x_2$ )condiție: $x_1 < x_2$ , $\Delta > 0$
$\operatorname{sgn} f(x) = \operatorname{sgn} a$
Între rădăcini ( $x_1 < x < x_2$ )condiție: $\Delta > 0$
$\operatorname{sgn} f(x) = -\operatorname{sgn} a$
Fără rădăcini reale ( $\Delta < 0$ )
$\operatorname{sgn} f(x) = \operatorname{sgn} a,\quad \forall\, x \in \mathbb{R}$

Inecuații de gradul II

Se rezolvă întotdeauna în trei pași: calculezi

\Delta

și rădăcinile, construiești tabelul de semn, citești mulțimea soluțiilor.

$ax^2+bx+c > 0$ , cu $a > 0$ și $\Delta > 0$ condiție: $x_1 < x_2$
$ax^2 + bx + c > 0 \;\Rightarrow\; x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$
$ax^2+bx+c < 0$ , cu $a > 0$ și $\Delta > 0$ condiție: $x_1 < x_2$
$ax^2 + bx + c < 0 \;\Rightarrow\; x \in (x_1, x_2)$
Exemplu: $x^2 - 4 < 0$ condiție: rădăcini $x_1 = -2$ , $x_2 = 2$ ; $a = 1 > 0$
$x^2 - 4 < 0 \;\Rightarrow\; x \in (-2,\, 2)$

Probleme rezolvate

Unde apar ecuația de gradul ii în probleme rezolvate

Ecuația și funcția de gradul II apar în Subiectul I și Subiectul II pe practic fiecare variantă de BAC M1. Cerințele tipice: calculul discriminantului și al soluțiilor, aplicarea relațiilor lui Viète pentru expresii simetrice, studiul semnului funcției și rezolvarea inecuațiilor, determinarea vârfului parabolei. La varianta de vară 2018, problema de algebră din Subiectul II are direct un studiu complet al funcției de gradul II.

Pe baremele oficiale

În arhiva problemelor zilnice

Întrebări frecvente despre ecuația de gradul ii

Ce este discriminantul și de ce contează?

Discriminantul este Δ = b² − 4ac. El decide câte soluții reale există: dacă Δ > 0, ecuația are două soluții reale distincte; dacă Δ = 0, are o singură soluție dublă; dacă Δ < 0, nu are nicio soluție reală. La BAC, calculul discriminantului este primul pas obligatoriu la orice problemă cu ecuație de gradul II.

Când are ecuația de gradul II soluții reale?

Atunci când discriminantul Δ = b² − 4ac este mai mare sau egal cu zero. Dacă Δ ≥ 0, formula soluțiilor dă valori reale. Dacă Δ < 0, rădăcina pătrată din Δ nu este reală, deci ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale — are însă soluții complexe, care nu se cer la BAC M1.

La ce folosesc relațiile lui Viète?

Relațiile lui Viète (x₁ + x₂ = −b/a și x₁ · x₂ = c/a) permit calculul sumei și produsului rădăcinilor fără a le găsi explicit. Sunt utile pentru: verificarea unui calcul, simplificarea expresiilor simetrice (x₁² + x₂², x₁³ + x₂³), reconstituirea ecuației când se cunosc suma și produsul rădăcinilor, și rezolvarea sistemelor în care apar suma și produsul.

Cum rezolv o inecuație de gradul II?

În trei pași: (1) calculezi discriminantul și rădăcinile x₁ ≤ x₂; (2) construiești tabelul de semn al funcției f(x) = ax² + bx + c — semnul lui f coincide cu semnul lui a în afara intervalului [x₁, x₂] și este opus semnului lui a în interiorul lui; (3) citești mulțimea soluțiilor: pentru f(x) < 0 cu a > 0, soluțiile sunt x ∈ (x₁, x₂); pentru f(x) > 0 cu a > 0, soluțiile sunt x ∈ (−∞, x₁) ∪ (x₂, +∞).

Ce este forma canonică și cum o folosesc?

Forma canonică este a(x + b/2a)² − Δ/(4a) și se obține completând pătratul. Arată direct că vârful parabolei este V(−b/2a, −Δ/4a) — adică x-ul vârfului anulează termenul pătrat, iar y-ul vârfului este −Δ/4a. E utilă la probleme care cer minimul sau maximul funcției, la identificarea axei de simetrie și la problemele cu parametri în care condiția de existență a soluțiilor se scrie elegant prin semnul lui Δ.

Ghidul complet de pregătire BAC Matematică M1Capitole, structura subiectului, barem și variante oficiale.Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.