pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 9-a

Exerciții rezolvate cu funcții trigonometrice inverse — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 33 exerciții rezolvate cu funcții trigonometrice inverse pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de funcții trigonometrice inverse.

Funcții trigonometrice inverse #1

Valoarea lui arcsin⁡12\arcsin\dfrac{1}{2} este:
  1. A. π4\dfrac{\pi}{4}
  2. B. π6\dfrac{\pi}{6}
  3. C. π3\dfrac{\pi}{3}
  4. D. π2\dfrac{\pi}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: B. π6\dfrac{\pi}{6}

sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}, și π6\dfrac{\pi}{6} se află în intervalul principal, deci arcsin⁡12=π6\arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}.

Funcții trigonometrice inverse #2

Valoarea lui arccos⁡0\arccos 0 este:
  1. A. 00
  2. B. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. C. π2\dfrac{\pi}{2}
  4. D. π\pi
Rezolvare

Răspuns corect: C. π2\dfrac{\pi}{2}

cos⁡π2=0\cos\dfrac{\pi}{2} = 0, deci arccos⁡0=π2\arccos 0 = \dfrac{\pi}{2}.

Funcții trigonometrice inverse #3

Valoarea lui cos⁡ ⁣(arcsin⁡35)\cos\!\left(\arcsin\dfrac{3}{5}\right) este:
  1. A. 35\dfrac{3}{5}
  2. B. −45-\dfrac{4}{5}
  3. C. 45\dfrac{4}{5}
  4. D. 53\dfrac{5}{3}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 45\dfrac{4}{5}

cos⁡2θ=1−sin⁡2θ=1−925=1625\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}, și cos⁡θ≥0\cos\theta \ge 0, deci cos⁡θ=45\cos\theta = \dfrac{4}{5}.

Funcții trigonometrice inverse #4

Valoarea lui arctg⁡3\arctg\sqrt{3} este:
  1. A. π6\dfrac{\pi}{6}
  2. B. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. C. π3\dfrac{\pi}{3}
  4. D. π2\dfrac{\pi}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: C. π3\dfrac{\pi}{3}

tg⁡π3=3\tg\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}, și π3∈ ⁣(−π2,π2)\dfrac{\pi}{3} \in \!\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right), deci arctg⁡3=π3\arctg\sqrt{3} = \dfrac{\pi}{3}.

Funcții trigonometrice inverse #5

Valoarea lui arccos⁡ ⁣(cos⁡2π3)\arccos\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}\right) este:
  1. A. −2π3-\dfrac{2\pi}{3}
  2. B. π3\dfrac{\pi}{3}
  3. C. 2π3\dfrac{2\pi}{3}
  4. D. 4π3\dfrac{4\pi}{3}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2π3\dfrac{2\pi}{3}

2π3∈[0,π]\dfrac{2\pi}{3} \in [0, \pi], deci arccos⁡ ⁣(cos⁡2π3)=2π3\arccos\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{2\pi}{3}.

Funcții trigonometrice inverse #6

Valoarea lui arcsin⁡ ⁣(sin⁡7π6)\arcsin\!\left(\sin\dfrac{7\pi}{6}\right) este:
  1. A. −π6-\dfrac{\pi}{6}
  2. B. π6\dfrac{\pi}{6}
  3. C. 5π6\dfrac{5\pi}{6}
  4. D. 7π6\dfrac{7\pi}{6}
Rezolvare

Răspuns corect: A. −π6-\dfrac{\pi}{6}

sin⁡7π6=−12\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}. Atunci arcsin⁡ ⁣(−12)=−π6\arcsin\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{6} (în intervalul principal).

Funcții trigonometrice inverse #7

Valoarea lui tg⁡ ⁣(arccos⁡23)\tg\!\left(\arccos\dfrac{2}{3}\right) este:
  1. A. 53\dfrac{\sqrt{5}}{3}
  2. B. 25\dfrac{2}{\sqrt{5}}
  3. C. 52\dfrac{\sqrt{5}}{2}
  4. D. 5\sqrt{5}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 52\dfrac{\sqrt{5}}{2}

sin⁡2θ=1−49=59\sin^2\theta = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}, deci sin⁡θ=53\sin\theta = \dfrac{\sqrt{5}}{3}. Astfel tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=5/32/3=52\tg\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.

Funcții trigonometrice inverse #8

Pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1], valoarea lui arcsin⁡x+arccos⁡x\arcsin x + \arccos x este:
  1. A. 00
  2. B. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. C. π2\dfrac{\pi}{2}
  4. D. π\pi
Rezolvare

Răspuns corect: C. π2\dfrac{\pi}{2}

Pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1], arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2} (identitate standard, deoarece arccos⁡x=π2−arcsin⁡x\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin x).

Funcții trigonometrice inverse #9

Valoarea expresiei arccos⁡(cos⁡5π3)\arccos\left(\cos\dfrac{5\pi}{3}\right) este:
  1. A. 5π3\dfrac{5\pi}{3}
  2. B. 2π3\dfrac{2\pi}{3}
  3. C. π3\dfrac{\pi}{3}
  4. D. −π3-\dfrac{\pi}{3}
Rezolvare

Răspuns corect: C. π3\dfrac{\pi}{3}

5π3∉[0,π]\dfrac{5\pi}{3}\notin[0,\pi] — varianta aa e exact capcana „simplificării directe". Calculăm: 5π3=2π−π3\dfrac{5\pi}{3}=2\pi-\dfrac{\pi}{3}, deci cos⁡5π3=cos⁡(2π−π3)=cos⁡π3=12.\cos\frac{5\pi}{3} = \cos\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac12. Cum π3∈[0,π]\dfrac{\pi}{3}\in[0,\pi]: arccos⁡(cos⁡5π3)=arccos⁡(12)=π3.\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right) = \arccos\left(\frac12\right) = \frac{\pi}{3}. Verificare numerică: cos⁡(5π/3)≈0,5\cos(5\pi/3)\approx0{,}5, arccos⁡(0,5)≈1,0472=π/3\arccos(0{,}5)\approx1{,}0472=\pi/3. ✓

Funcții trigonometrice inverse #10

Soluția reală a ecuației arctan⁡(x)+arctan⁡(2x)=3π4\arctan(x) + \arctan(2x) = \dfrac{3\pi}{4} este x=x=
  1. A. 3−174\dfrac{3-\sqrt{17}}{4}
  2. B. 3+174\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}
  3. C. 3+172\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}
  4. D. −3+174-\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 3+174\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}

Notăm ecuația și aplicăm tangenta ambelor părți, folosind tan⁡3π4=−1\tan\dfrac{3\pi}{4}=-1: tan⁡(arctan⁡x+arctan⁡2x)=x+2x1−2x2=3x1−2x2=−1.\tan\big(\arctan x+\arctan2x\big) = \frac{x+2x}{1-2x^2} = \frac{3x}{1-2x^2} = -1. 3x=−(1−2x2)  ⟹  2x2−3x−1=0  ⟹  x=3±9+84=3±174.3x = -(1-2x^2) \implies 2x^2-3x-1=0 \implies x=\frac{3\pm\sqrt{9+8}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}. Verificare obligatorie a ambelor rădăcini (tangenta nu distinge 3π4\dfrac{3\pi}4 de −π4-\dfrac\pi4, fiind aceeași valoare modulo π\pi): - x=3+174≈1,781x=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\approx1{,}781: arctan⁡(1,781)≈60,64∘\arctan(1{,}781)\approx60{,}64^\circ, arctan⁡(3,562)≈74,31∘\arctan(3{,}562)\approx74{,}31^\circ, suma ≈134,95∘≈3π4=135∘\approx134{,}95^\circ\approx\dfrac{3\pi}4=135^\circ. ✓ Corectă. - x=3−174≈−0,281x=\dfrac{3-\sqrt{17}}{4}\approx-0{,}281: arctan⁡(−0,281)≈−15,68∘\arctan(-0{,}281)\approx-15{,}68^\circ, arctan⁡(−0,562)≈−29,33∘\arctan(-0{,}562)\approx-29{,}33^\circ, suma ≈−45∘=−π4\approx-45^\circ=-\dfrac\pi4 — NU este 3π4\dfrac{3\pi}4, deci această rădăcină e extraneă (introdusă de faptul că tan⁡\tan nu „vede" diferența de π\pi). Soluția ecuației este x=3+174x=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}.

Funcții trigonometrice inverse #11

Valoarea sumei arctan⁡12+arctan⁡13\arctan\dfrac{1}{2}+\arctan\dfrac{1}{3} este:
  1. A. π6\dfrac{\pi}{6}
  2. B. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. C. π3\dfrac{\pi}{3}
  4. D. 5π12\dfrac{5\pi}{12}
Rezolvare

Răspuns corect: B. π4\dfrac{\pi}{4}

Fie a=arctan⁡12a=\arctan\dfrac12 și b=arctan⁡13b=\arctan\dfrac13, deci tan⁡a=12\tan a=\dfrac12, tan⁡b=13\tan b=\dfrac13, ambele în (0,π4)\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right). tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b=12+131−12⋅13=5656=1\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{\dfrac12+\dfrac13}{1-\dfrac12\cdot\dfrac13}=\frac{\dfrac56}{\dfrac56}=1 Cum a+b∈(0,π/2)a+b\in(0,\pi/2) (sumă de două unghiuri din (0,π/4)(0,\pi/4)) și tan⁡(a+b)=1\tan(a+b)=1, rezultă a+b=π4a+b=\dfrac{\pi}{4}. Verificare numerică: arctan⁡0,5+arctan⁡0,33‾≈0,4636+0,3217=0,7854≈π4\arctan 0{,}5+\arctan 0{,}3\overline{3}\approx 0{,}4636+0{,}3217=0{,}7854\approx \dfrac{\pi}{4}. ✓

Funcții trigonometrice inverse #12

Valoarea sumei arctan⁡(1)+arctan⁡(2)+arctan⁡(3)\arctan(1) + \arctan(2) + \arctan(3) este:
  1. A. π2\dfrac{\pi}{2}
  2. B. 5π4\dfrac{5\pi}{4}
  3. C. π\pi
  4. D. 3π4\dfrac{3\pi}{4}
Rezolvare

Răspuns corect: C. π\pi

Pasul cheie de recunoaștere: cu A=arctan⁡1=π4A=\arctan1=\dfrac\pi4, B=arctan⁡2B=\arctan2, C=arctan⁡3C=\arctan3, verificăm identitatea din formula tangentei sumei de trei unghiuri: expresia tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C−tan⁡Atan⁡Btan⁡C\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C se anulează exact când A+B+C≡0(modπ)A+B+C\equiv0\pmod\pi. Aici: tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=1+2+3=6,tan⁡A⋅tan⁡B⋅tan⁡C=1⋅2⋅3=6.\tan A+\tan B+\tan C = 1+2+3=6, \qquad \tan A\cdot\tan B\cdot\tan C = 1\cdot2\cdot3=6. Cele două sunt egale, deci A+B+C≡0(modπ)A+B+C\equiv0\pmod\pi. Încadrarea sumei: fiecare dintre A,B,C∈(0,π2)A,B,C\in\left(0,\dfrac\pi2\right) (arctangente de numere pozitive), deci A+B+C∈(0,3π2)A+B+C\in(0,\tfrac{3\pi}2). Singurul multiplu de π\pi din acest interval este π\pi însuși (nu 00, fiind sumă de termeni strict pozitivi). Deci arctan⁡1+arctan⁡2+arctan⁡3=π.\arctan1+\arctan2+\arctan3=\pi. Verificare numerică: arctan⁡1≈45∘\arctan1\approx45^\circ, arctan⁡2≈63,43∘\arctan2\approx63{,}43^\circ, arctan⁡3≈71,57∘\arctan3\approx71{,}57^\circ; suma ≈180,00∘=π\approx180{,}00^\circ=\pi. ✓
În aplicațieÎncă 21 exerciții cu funcții trigonometrice inverseIntră în cont și continui direct de la funcții trigonometrice inverse — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 9-a