pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 9-a

Exerciții rezolvate cu progresii aritmetice — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 70 exerciții rezolvate cu progresii aritmetice pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de progresii aritmetice.

Progresii aritmetice #1

În progresia aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1}, a2=7a_2 = 7 și a5=16a_5 = 16. Determinați a1a_1.
  1. A. 33
  2. B. 44
  3. C. 55
  4. D. 77
Rezolvare

Răspuns corect: B. 44

r=16−73=3r = \dfrac{16 - 7}{3} = 3, deci a1=a2−r=7−3=4a_1 = a_2 - r = 7 - 3 = 4.

Progresii aritmetice #2

Numerele 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots formează o progresie aritmetică. Rația rr este egală cu:
  1. A. 22
  2. B. 33
  3. C. 44
  4. D. 55
Rezolvare

Răspuns corect: B. 33

r=a2−a1=8−5=3r = a_2 - a_1 = 8 - 5 = 3.

Progresii aritmetice #3

Calculați suma primilor 2020 termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} cu a1=2a_1 = 2 și r=3r = 3.
  1. A. 560560
  2. B. 590590
  3. C. 610610
  4. D. 620620
Rezolvare

Răspuns corect: C. 610610

S20=20 (2⋅2+19⋅3)2=20⋅612=10⋅61=610S_{20} = \dfrac{20\,(2 \cdot 2 + 19 \cdot 3)}{2} = \dfrac{20 \cdot 61}{2} = 10 \cdot 61 = 610.

Progresii aritmetice #4

Într-o progresie aritmetică cu a1=3a_1 = 3 și r=4r = 4, termenul an=47a_n = 47. Determinați nn.
  1. A. 1010
  2. B. 1111
  3. C. 1212
  4. D. 1313
Rezolvare

Răspuns corect: C. 1212

47=3+(n−1)⋅4⇒(n−1)⋅4=44⇒n−1=11⇒n=1247 = 3 + (n-1) \cdot 4 \Rightarrow (n-1) \cdot 4 = 44 \Rightarrow n - 1 = 11 \Rightarrow n = 12.

Progresii aritmetice #5

Numerele x−2x - 2, 55, x+4x + 4 sunt în progresie aritmetică (în această ordine). Determinați xx.
  1. A. 11
  2. B. 22
  3. C. 44
  4. D. 77
Rezolvare

Răspuns corect: C. 44

5=(x−2)+(x+4)2⇒10=2x+2⇒x=45 = \dfrac{(x - 2) + (x + 4)}{2} \Rightarrow 10 = 2x + 2 \Rightarrow x = 4.

Progresii aritmetice #6

Pentru progresia aritmetică cu a1=1a_1 = 1 și r=2r = 2, calculați a5+a6+a7+a8+a9a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9.
  1. A. 3535
  2. B. 4545
  3. C. 6565
  4. D. 7575
Rezolvare

Răspuns corect: C. 6565

an=2n−1a_n = 2n - 1, deci a5+⋯+a9=9+11+13+15+17=65a_5 + \cdots + a_9 = 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 65. Echivalent, aceasta este suma a 55 numere impare consecutive începând de la 99.

Progresii aritmetice #7

Trei numere în progresie aritmetică au suma 1515, iar suma pătratelor lor este 8383. Cel mai mare dintre ele este:
  1. A. 55
  2. B. 66
  3. C. 77
  4. D. 88
Rezolvare

Răspuns corect: C. 77

Notăm termenii 5−r, 5, 5+r5 - r,\, 5,\, 5 + r. Atunci (5−r)2+25+(5+r)2=50+2r2+25=83(5-r)^2 + 25 + (5+r)^2 = 50 + 2r^2 + 25 = 83, deci 2r2=8⇒r=22r^2 = 8 \Rightarrow r = 2. Termenul cel mai mare este 5+2=75 + 2 = 7.

Progresii aritmetice #8

Pentru o progresie aritmetică cu a1=5a_1 = 5 și r=3r = 3, găsiți cel mai mic nn astfel încât Sn≥500S_n \ge 500.
  1. A. 1616
  2. B. 1717
  3. C. 1818
  4. D. 1919
Rezolvare

Răspuns corect: C. 1818

Sn=n(3n+7)2S_n = \dfrac{n(3n + 7)}{2}. Calculăm: S17=17⋅582=493<500S_{17} = \dfrac{17 \cdot 58}{2} = 493 < 500 și S18=18⋅612=549≥500S_{18} = \dfrac{18 \cdot 61}{2} = 549 \ge 500. Deci cel mai mic nn este 1818.

Progresii aritmetice #9

Într-o progresie aritmetică, a2+a6=24a_2+a_6=24. Atunci a4a_4 este:
  1. A. 1212
  2. B. 66
  3. C. 2424
  4. D. 4848
Rezolvare

Răspuns corect: A. 1212

a2+a6=(a1+r)+(a1+5r)=2a1+6r=2(a1+3r)=2a4.a_2+a_6=(a_1+r)+(a_1+5r)=2a_1+6r=2(a_1+3r)=2a_4. Deci 2a4=24 ⇒ a4=12.2a_4=24\ \Rightarrow\ a_4=12. ✓ Proprietate generală: dacă p+q=2kp+q=2k, atunci ap+aq=2aka_p+a_q=2a_k.

Progresii aritmetice #10

Se consideră progresia aritmetică an=4n+1a_n=4n+1. Câți dintre termenii a1,a2,…,a100a_1,a_2,\dots,a_{100} sunt divizibili cu 33?
  1. A. 3434
  2. B. 5050
  3. C. 2525
  4. D. 3333
Rezolvare

Răspuns corect: D. 3333

4n+1≡n+1(mod3),4n+1\equiv n+1\pmod 3, deci 3∣an3\mid a_n exact când n≡2(mod3)n\equiv 2\pmod 3. În {1,2,…,100}\{1,2,\dots,100\} numerele ≡2(mod3)\equiv 2\pmod 3 sunt 2, 5, 8, …, 982,\,5,\,8,\,\dots,\,98: n=98−23+1=33.n=\frac{98-2}{3}+1=33. ✓ Verificare rapidă: a2=9a_2=9 ✓, a5=21a_5=21 ✓, a98=393=3⋅131a_{98}=393=3\cdot 131 ✓

Progresii aritmetice #11

Într-o progresie aritmetică, S10=100S_{10}=100 și S20=400S_{20}=400. Rația progresiei este:
  1. A. 11
  2. B. 44
  3. C. 22
  4. D. 33
Rezolvare

Răspuns corect: C. 22

S10=5(2a1+9r)=100 ⇒ 2a1+9r=20,S_{10}=5(2a_1+9r)=100\ \Rightarrow\ 2a_1+9r=20, S20=10(2a1+19r)=400 ⇒ 2a1+19r=40.S_{20}=10(2a_1+19r)=400\ \Rightarrow\ 2a_1+19r=40. Scăzând: 10r=2010r=20, deci r=2r=2 (și a1=1a_1=1). ✓ Verificare: S10=5(2+18)=100S_{10}=5(2+18)=100 ✓, S20=10(2+38)=400S_{20}=10(2+38)=400 ✓

Progresii aritmetice #12

Se consideră progresiile aritmetice an=4n−1a_n=4n-1 (n≥1n\ge1) și bm=7m−4b_m=7m-4 (m≥1m\ge1). Numărul termenilor comuni celor două progresii, mai mici decât 200200, este:
  1. A. 77
  2. B. 2929
  3. C. 88
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: C. 88

Punem 4n−1=7m−4⇒4n=7m−3⇒n=7m−344n-1=7m-4 \Rightarrow 4n=7m-3 \Rightarrow n=\dfrac{7m-3}{4}, care e întreg doar dacă 7m≡3(mod4)7m\equiv3\pmod4, adică 3m≡3(mod4)3m\equiv3\pmod4, deci m≡1(mod4)m\equiv1\pmod4. Pentru m=1,5,9,13,…m=1,5,9,13,\dots obținem bm=3,31,59,87,115,143,171,199,227,…b_m=3,31,59,87,115,143,171,199,227,\dots — o progresie aritmetică cu primul termen 33 și rația 28=cmmmc(4,7)28=\mathrm{cmmmc}(4,7). Termenii comuni mai mici decât 200200 sunt 3,31,59,87,115,143,171,1993,31,59,87,115,143,171,199, deci 88 termeni (227227 deja depășește 200200).
În aplicațieÎncă 58 exerciții cu progresii aritmeticeIntră în cont și continui direct de la progresii aritmetice — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 9-a