pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 9-a

Exerciții rezolvate cu progresii geometrice — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 56 exerciții rezolvate cu progresii geometrice pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de progresii geometrice.

Progresii geometrice #1

În progresia geometrică (bn)n≥1(b_n)_{n \ge 1}, b1=2b_1 = 2 și q=3q = 3. Determinați b5b_5.
  1. A. 5454
  2. B. 8181
  3. C. 162162
  4. D. 486486
Rezolvare

Răspuns corect: C. 162162

b5=b1⋅q4=2⋅34=2⋅81=162b_5 = b_1 \cdot q^{4} = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162.

Progresii geometrice #2

Numerele 4,12,36,108,…4, 12, 36, 108, \ldots formează o progresie geometrică. Rația qq este egală cu:
  1. A. 22
  2. B. 13\dfrac{1}{3}
  3. C. 33
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33

q=b2b1=124=3q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{12}{4} = 3.

Progresii geometrice #3

Calculați suma primilor 1010 termeni ai progresiei geometrice 1,2,4,8,…1, 2, 4, 8, \ldots.
  1. A. 511511
  2. B. 512512
  3. C. 10231023
  4. D. 10241024
Rezolvare

Răspuns corect: C. 10231023

S10=1⋅210−12−1=1023S_{10} = 1 \cdot \dfrac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 1023.

Progresii geometrice #4

Numerele 33, xx, 2727 sunt în progresie geometrică (cu rație pozitivă). Determinați xx.
  1. A. 55
  2. B. 99
  3. C. 1515
  4. D. 30\sqrt{30}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 99

x2=3⋅27=81⇒x=9x^2 = 3 \cdot 27 = 81 \Rightarrow x = 9 (rație pozitivă).

Progresii geometrice #5

Într-o progresie geometrică cu b1=5b_1 = 5 și q=2q = 2, termenul bn=320b_n = 320. Determinați nn.
  1. A. 55
  2. B. 66
  3. C. 77
  4. D. 88
Rezolvare

Răspuns corect: C. 77

5⋅2n−1=320⇒2n−1=64=26⇒n−1=6⇒n=75 \cdot 2^{n-1} = 320 \Rightarrow 2^{n-1} = 64 = 2^6 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7.

Progresii geometrice #6

Calculați suma 1+12+14+18+⋯1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots.
  1. A. 32\dfrac{3}{2}
  2. B. 22
  3. C. 52\dfrac{5}{2}
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: B. 22

b1=1b_1 = 1, q=12q = \dfrac{1}{2}: S=11−1/2=2S = \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2.

Progresii geometrice #7

Numerele a,b,ca, b, c sunt în PG și a+b+c=14a + b + c = 14, abc=64abc = 64. Termenul din mijloc bb este egal cu:
  1. A. 22
  2. B. 33
  3. C. 44
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: C. 44

Deoarece b2=acb^2 = ac, produsul abc=b⋅ac=b⋅b2=b3=64abc = b \cdot ac = b \cdot b^2 = b^3 = 64, deci b=4b = 4.

Progresii geometrice #8

Pentru progresia geometrică (bn)n≥1(b_n)_{n \ge 1} cu b1=2b_1 = 2 și q=5q = \sqrt{5}, calculați ⌊b4⌋\left\lfloor b_4 \right\rfloor (partea întreagă a lui b4b_4).
  1. A. 2020
  2. B. 2121
  3. C. 2222
  4. D. 2525
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2222

b4=105b_4 = 10\sqrt{5}. Deoarece 5≈2,236\sqrt{5} \approx 2{,}236, b4≈22,36b_4 \approx 22{,}36, deci ⌊b4⌋=22\lfloor b_4 \rfloor = 22.

Progresii geometrice #9

Pentru progresia geometrică 1,2,4,8,16,32,…1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots, suma b2+b4+b6b_2 + b_4 + b_6 este egală cu:
  1. A. 3636
  2. B. 4242
  3. C. 4848
  4. D. 5656
Rezolvare

Răspuns corect: B. 4242

b2=2b_2 = 2, b4=8b_4 = 8, b6=32b_6 = 32. Suma este 2+8+32=422 + 8 + 32 = 42. (Aceste trei formează o PG cu primul termen 22 și rația 44.)

Progresii geometrice #10

Într-o progresie geometrică cu b1=1b_1=1 și q=2q=2, primul termen care depășește 10001000 este:
  1. A. b10=512b_{10}=512
  2. B. b12=2048b_{12}=2048
  3. C. b11=1024b_{11}=1024
  4. D. b11=2048b_{11}=2048
Rezolvare

Răspuns corect: C. b11=1024b_{11}=1024

bn=2 n−1>1000.b_n=2^{\,n-1}>1000. Cum 29=512<1000<1024=2102^9=512<1000<1024=2^{10}, prima putere care depășește 10001000 este 2102^{10}, deci n−1=10n-1=10, adică n=11n=11 și b11=1024.b_{11}=1024. ✓ (Verificare: b10=512<1000b_{10}=512<1000 ✓)

Progresii geometrice #11

Numerele nenule aa, bb, cc sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, iar aa, cc, bb sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Dacă a≠ba\ne b, atunci raportul ca\dfrac{c}{a} este:
  1. A. −12-\dfrac12
  2. B. 11
  3. C. 22
  4. D. −2-2
Rezolvare

Răspuns corect: A. −12-\dfrac12

Cele două condiții se scriu: 2b=a+c(progresie aritmetica˘),c2=ab(progresie geometrica˘).2b=a+c\qquad\text{(progresie aritmetică)},\qquad c^2=ab\qquad\text{(progresie geometrică)}. Din prima, b=a+c2b=\dfrac{a+c}{2}. Înlocuind în a doua: c2=a⋅a+c2 ⇒ 2c2−ac−a2=0.c^2=a\cdot\frac{a+c}{2}\ \Rightarrow\ 2c^2-ac-a^2=0. Cum a≠0a\ne 0, împărțim prin a2a^2 și notăm t=cat=\dfrac ca: 2t2−t−1=0 ⇒ t=1±34 ⇒ t=1  sau  t=−12.2t^2-t-1=0\ \Rightarrow\ t=\frac{1\pm 3}{4}\ \Rightarrow\ t=1\ \text{ sau }\ t=-\frac12. Dacă t=1t=1, atunci c=ac=a și deci b=a+a2=ab=\dfrac{a+a}{2}=a — contrazice ipoteza a≠ba\ne b. Rămâne ca=−12.\frac ca=-\frac12. ✓ Verificare numerică cu a=4a=4: c=−2c=-2 și b=4−22=1b=\dfrac{4-2}{2}=1. - a,b,c=4, 1, −2a,b,c=4,\,1,\,-2 — progresie aritmetică de rație −3-3 ✓ - a,c,b=4, −2, 1a,c,b=4,\,-2,\,1 — progresie geometrică de rație −12-\dfrac12 ✓

Progresii geometrice #12

Trei numere pozitive x,y,zx,y,z formează (în această ordine) o progresie geometrică cu suma 2121. Dacă micșorăm al treilea termen cu 33, numerele x, y, z−3x,\,y,\,z-3 formează (în această ordine) o progresie aritmetică. Valoarea produsului xyzxyz este:
  1. A. 108108
  2. B. 126126
  3. C. 162162
  4. D. 216216
Rezolvare

Răspuns corect: D. 216216

Din progresia geometrică: y2=xzy^2=xz. Din progresia aritmetică nouă: 2y=x+(z−3)⇒x+z=2y+32y=x+(z-3) \Rightarrow x+z=2y+3. Combinând cu x+y+z=21x+y+z=21: (2y+3)+y=21⇒3y=18⇒y=6(2y+3)+y=21 \Rightarrow 3y=18 \Rightarrow y=6. Atunci x+z=15x+z=15 și xz=y2=36xz=y^2=36. Rezolvând t2−15t+36=0t^2-15t+36=0: discriminant 225−144=81225-144=81, t=15±92t=\frac{15\pm9}{2}, deci t=12t=12 sau t=3t=3. Așadar {x,z}={3,12}\{x,z\}=\{3,12\} — există două ordonări posibile (x=3,z=12x=3,z=12 cu rația q=2q=2, sau x=12,z=3x=12,z=3 cu q=12q=\frac12), dar în ambele cazuri produsul xyz=6⋅3⋅12=216xyz=6\cdot3\cdot12=216, fiindcă produsul e simetric în xx și zz. Verificare: pentru x=3,y=6,z=12x=3,y=6,z=12: suma 3+6+12=213+6+12=21 ✓; noua secvență 3,6,93,6,9 este progresie aritmetică cu rația 33 ✓.
În aplicațieÎncă 44 exerciții cu progresii geometriceIntră în cont și continui direct de la progresii geometrice — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 9-a