pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 9-a

Exerciții rezolvate cu vectori în plan — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 79 exerciții rezolvate cu vectori în plan pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de vectori în plan.

Vectori în plan #1

Pentru u⃗=3i⃗+4j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j}, modulul ∣u⃗∣|\vec{u}| este egal cu:
  1. A. 33
  2. B. 44
  3. C. 55
  4. D. 77
Rezolvare

Răspuns corect: C. 55

∣u⃗∣=32+42=25=5|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.

Vectori în plan #2

Pentru u⃗=i⃗+2j⃗\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j} și v⃗=3i⃗−j⃗\vec{v} = 3\vec{i} - \vec{j}, suma u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} este egală cu:
  1. A. 4i⃗+2j⃗4\vec{i} + 2\vec{j}
  2. B. 4i⃗−3j⃗4\vec{i} - 3\vec{j}
  3. C. 4i⃗+j⃗4\vec{i} + \vec{j}
  4. D. −2i⃗+3j⃗-2\vec{i} + 3\vec{j}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 4i⃗+j⃗4\vec{i} + \vec{j}

Se adună componentele: (1+3)i⃗+(2−1)j⃗=4i⃗+j⃗(1 + 3)\vec{i} + (2 - 1)\vec{j} = 4\vec{i} + \vec{j}.

Vectori în plan #3

Sunt vectorii u⃗=i⃗+2j⃗\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j} și v⃗=2i⃗+4j⃗\vec{v} = 2\vec{i} + 4\vec{j} coliniari?
  1. A. Da, v⃗=2u⃗\text{Da,}\text{ }\allowbreak{}\vec{v} = 2\vec{u}
  2. B. Nu, produsul scalar este nenul\text{Nu,}\text{ }\allowbreak{}\text{produsul}\text{ }\allowbreak{}\text{scalar}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{nenul}
  3. C. Da, dar numai pentru ca˘ sunt perpendiculari\text{Da,}\text{ }\allowbreak{}\text{dar}\text{ }\allowbreak{}\text{numai}\text{ }\allowbreak{}\text{pentru}\text{ }\allowbreak{}\text{că}\text{ }\allowbreak{}\text{sunt}\text{ }\allowbreak{}\text{perpendiculari}
  4. D. Nu, au module diferite\text{Nu,}\text{ }\allowbreak{}\text{au}\text{ }\allowbreak{}\text{module}\text{ }\allowbreak{}\text{diferite}
Rezolvare

Răspuns corect: A. Da, v⃗=2u⃗\text{Da,}\text{ }\allowbreak{}\vec{v} = 2\vec{u}

v⃗=2u⃗\vec{v} = 2\vec{u}, deci cei doi vectori sunt coliniari (paraleli).

Vectori în plan #4

Pentru u⃗=i⃗+j⃗\vec{u} = \vec{i} + \vec{j} și v⃗=ai⃗−2j⃗\vec{v} = a\vec{i} - 2\vec{j}, găsiți a∈Ra \in \mathbb{R} astfel încât u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} să fie coliniari.
  1. A. −2-2
  2. B. −12-\dfrac{1}{2}
  3. C. 12\dfrac{1}{2}
  4. D. 22
Rezolvare

Răspuns corect: A. −2-2

v⃗=ku⃗\vec{v} = k \vec{u} pentru un kk ⇒ a=ka = k și −2=k-2 = k. Deci a=−2a = -2.

Vectori în plan #5

Găsiți m∈Rm \in \mathbb{R} astfel încât u⃗=mi⃗+3j⃗\vec{u} = m\vec{i} + 3\vec{j} și v⃗=4i⃗+(m+1)j⃗\vec{v} = 4\vec{i} + (m + 1)\vec{j} să fie perpendiculari.
  1. A. −1-1
  2. B. −37-\dfrac{3}{7}
  3. C. 37\dfrac{3}{7}
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: B. −37-\dfrac{3}{7}

u⃗⋅v⃗=4m+3(m+1)=7m+3=0⇒m=−37\vec{u} \cdot \vec{v} = 4m + 3(m + 1) = 7m + 3 = 0 \Rightarrow m = -\dfrac{3}{7}.

Vectori în plan #6

Vectorul AB→\overrightarrow{AB} de la A(1,2)A(1, 2) la B(4,6)B(4, 6) este egal cu:
  1. A. 5i⃗+8j⃗5\vec{i} + 8\vec{j}
  2. B. 3i⃗+4j⃗3\vec{i} + 4\vec{j}
  3. C. −3i⃗−4j⃗-3\vec{i} - 4\vec{j}
  4. D. i⃗+2j⃗\vec{i} + 2\vec{j}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 3i⃗+4j⃗3\vec{i} + 4\vec{j}

AB→=(4−1)i⃗+(6−2)j⃗=3i⃗+4j⃗\overrightarrow{AB} = (4 - 1)\vec{i} + (6 - 2)\vec{j} = 3\vec{i} + 4\vec{j}.

Vectori în plan #7

Fie a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} doi vectori necoliniari. Găsiți m∈Rm \in \mathbb{R} astfel încât u⃗=3a⃗−(m+1)b⃗\vec{u} = 3\vec{a} - (m + 1)\vec{b} și v⃗=(m−1)a⃗−5b⃗\vec{v} = (m - 1)\vec{a} - 5\vec{b} să fie coliniari.
  1. A. {−4}\{-4\}
  2. B. {4}\{4\}
  3. C. {−4,4}\{-4, 4\}
  4. D. {−2,8}\{-2, 8\}
Rezolvare

Răspuns corect: C. {−4,4}\{-4, 4\}

3⋅(−5)=(m−1) (−(m+1))3 \cdot (-5) = (m - 1)\,(-(m+1)), adică −15=−(m−1)(m+1)=1−m2-15 = -(m-1)(m+1) = 1 - m^2, deci m2=16m^2 = 16 și m∈{−4,4}m \in \{-4, 4\}.

Vectori în plan #8

Pentru u⃗=i⃗+j⃗\vec{u} = \vec{i} + \vec{j} și v⃗=ai⃗−2j⃗\vec{v} = a\vec{i} - 2\vec{j}, găsiți a∈Ra \in \mathbb{R} astfel încât ∣u⃗+v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2.
  1. A. −2-2
  2. B. −1-1
  3. C. 22
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: C. 22

u⃗⋅v⃗=a+(−2)=a−2=0⇒a=2\vec{u} \cdot \vec{v} = a + (-2) = a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2.

Vectori în plan #9

Se dau A(2,−1)A(2,-1) și B(12,9)B(12,9). Punctul PP împarte segmentul [AB][AB] astfel încât AP:PB=3:2AP:PB=3:2. Calculați coordonatele lui PP.
  1. A. (6,3)(6,3)
  2. B. (8,5)(8,5)
  3. C. (7,4)(7,4)
  4. D. (12,9)(12,9)
Rezolvare

Răspuns corect: B. (8,5)(8,5)

AB→=(10,10),P⃗=A⃗+35AB→=(2,−1)+35(10,10)=(2+6, −1+6)=(8,5).\overrightarrow{AB}=(10,10), \qquad \vec P = \vec A+\frac35\overrightarrow{AB}=(2,-1)+\frac35(10,10)=(2+6,\,-1+6)=(8,5). Verificare: distanța AP=62+62=62AP=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2, PB=42+42=42PB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2, raport AP:PB=62:42=3:2AP:PB=6\sqrt2:4\sqrt2=3:2. ✓ (Distractorul (6,3)(6,3) apare dacă inversezi raportul, folosind 25\frac25 în loc de 35\frac35.)

Vectori în plan #10

În triunghiul ABCABC cu AB→=u⃗\overrightarrow{AB}=\vec u, AC→=v⃗\overrightarrow{AC}=\vec v, fie M,N,PM,N,P mijloacele laturilor BC,CA,ABBC,CA,AB. Calculați AM→+BN→+CP→\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}.
  1. A. 12(u⃗+v⃗)\dfrac12(\vec u+\vec v)
  2. B. u⃗+v⃗\vec u+\vec v
  3. C. −12(u⃗+v⃗)-\dfrac12(\vec u+\vec v)
  4. D. 0⃗\vec 0
Rezolvare

Răspuns corect: D. 0⃗\vec 0

Cu AA origine: M=u⃗+v⃗2M=\dfrac{\vec u+\vec v}2, N=v⃗2N=\dfrac{\vec v}2 (mijlocul [CA][CA], cu AA origine), P=u⃗2P=\dfrac{\vec u}2. AM→=u⃗+v⃗2,BN→=N−B=v⃗2−u⃗,CP→=P−C=u⃗2−v⃗.\overrightarrow{AM}=\frac{\vec u+\vec v}2,\quad \overrightarrow{BN}=N-B=\frac{\vec v}2-\vec u,\quad \overrightarrow{CP}=P-C=\frac{\vec u}2-\vec v. Adunând, coeficienții lui u⃗\vec u: 12−1+12=0\dfrac12-1+\dfrac12=0; coeficienții lui v⃗\vec v: 12+12−1=0\dfrac12+\dfrac12-1=0. Deci AM→+BN→+CP→=0⃗.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\vec 0. Verificare numerică: pentru A(1,2)A(1,2), B(5,−1)B(5,-1), C(3,9)C(3,9) (triunghi arbitrar), calculul direct al celor trei vectori-mediane și suma lor dă (0,0)(0,0). ✓ Rezultatul e independent de forma triunghiului — identitatea „se prăbușește" complet.

Vectori în plan #11

În triunghiul ABCABC, punctul D∈BCD \in BC verifică BDDC=12\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2}, iar punctul E∈ACE \in AC verifică AEEC=21\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{2}{1}. Dreptele ADAD și BEBE se intersectează în PP. Raportul APPD\dfrac{AP}{PD} este egal cu:
  1. A. 66
  2. B. 67\dfrac{6}{7}
  3. C. 33
  4. D. 16\dfrac{1}{6}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 66

Fie AA originea, u⃗=AB⃗\vec u=\vec{AB}, v⃗=AC⃗\vec v=\vec{AC}. Din BDDC=12\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2}: D=B+13(C−B)=23u⃗+13v⃗D=B+\dfrac13(C-B)=\dfrac23\vec u+\dfrac13\vec v. Din AEEC=21\dfrac{AE}{EC}=\dfrac21: E=A+23(C−A)=23v⃗E=A+\dfrac23(C-A)=\dfrac23\vec v. Pe ADAD: P=t⋅D=2t3u⃗+t3v⃗P=t\cdot D=\dfrac{2t}{3}\vec u+\dfrac{t}{3}\vec v. Pe BEBE: P=B+s(E−B)=(1−s)u⃗+2s3v⃗P=B+s(E-B)=(1-s)\vec u+\dfrac{2s}{3}\vec v. Egalând coeficienții: 2t3=1−sșit3=2s3  ⟺  t=2s.\frac{2t}{3}=1-s \quad\text{și}\quad \frac{t}{3}=\frac{2s}{3}\iff t=2s. Înlocuind t=2st=2s în prima ecuație: 4s3=1−s  ⟺  4s=3−3s  ⟺  s=37\dfrac{4s}{3}=1-s \iff 4s=3-3s \iff s=\dfrac37, deci t=67t=\dfrac67. Cum P=t⋅DP=t\cdot D pe segmentul ADAD, avem APAD=t=67\dfrac{AP}{AD}=t=\dfrac67, deci APPD=t1−t=6/71/7=6\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{t}{1-t}=\dfrac{6/7}{1/7}=6. Verificare (coordonate A(0,0)A(0,0), B(1,0)B(1,0), C(0,1)C(0,1)): D=(2/3,1/3)D=(2/3,1/3), E=(0,2/3)E=(0,2/3); intersecția AD∩BEAD\cap BE dă P=(4/7,2/7)P=(4/7,2/7), iar APPD=4/72/3−4/7=6\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{4/7}{2/3-4/7}=6. ✓

Vectori în plan #12

În triunghiul ABCABC, D∈BCD\in BC cu BD:DC=1:2BD:DC=1:2 și E∈CAE\in CA cu CE:EA=1:2CE:EA=1:2. Fie P=AD∩BEP=AD\cap BE. Dacă (pentru o origine arbitrară) P⃗=xA⃗+yB⃗+zC⃗\vec P=x\vec A+y\vec B+z\vec C cu x+y+z=1x+y+z=1, calculați yy.
  1. A. 47\dfrac47
  2. B. 17\dfrac17
  3. C. 27\dfrac27
  4. D. 37\dfrac37
Rezolvare

Răspuns corect: A. 47\dfrac47

Cu D=2B⃗+C⃗3D=\dfrac{2\vec B+\vec C}3 (din BD:DC=1:2BD:DC=1:2) și E=2C⃗+A⃗3E=\dfrac{2\vec C+\vec A}3 (din CE:EA=1:2CE:EA=1:2): Pe dreapta ADAD: P⃗=(1−t)A⃗+2t3B⃗+t3C⃗\vec P=(1-t)\vec A+\dfrac{2t}3\vec B+\dfrac t3\vec C. Pe dreapta BEBE: P⃗=s3A⃗+(1−s)B⃗+2s3C⃗\vec P=\dfrac s3\vec A+(1-s)\vec B+\dfrac{2s}3\vec C. Pasul de recunoaștere: egalând coeficienții lui C⃗\vec C: t3=2s3⇒t=2s\dfrac t3=\dfrac{2s}3 \Rightarrow t=2s. Egalând coeficienții lui A⃗\vec A: 1−t=s3⇒1−2s=s3⇒s=371-t=\dfrac s3 \Rightarrow 1-2s=\dfrac s3 \Rightarrow s=\dfrac37, deci t=67t=\dfrac67. Coeficientul lui B⃗\vec B: y=2t3=23⋅67=47y=\dfrac{2t}3=\dfrac{2}3\cdot\dfrac67=\dfrac{4}{7}. Verificare sumă: x=1−t=17x=1-t=\dfrac17, z=t3=27z=\dfrac t3=\dfrac27; 17+47+27=1\dfrac17+\dfrac47+\dfrac27=1. ✓ Verificare prin coordonate: A(0,0)A(0,0), B(7,0)B(7,0), C(1,9)C(1,9): D=(153,6)D=\left(\dfrac{15}3,6\right), E=(73,3)E=\left(\dfrac73,3\right); intersecția AD∩BEAD\cap BE dă P=(307,187)P=\left(\dfrac{30}7,\dfrac{18}7\right), iar rezolvarea sistemului P⃗=xA⃗+yB⃗+zC⃗\vec P=x\vec A+y\vec B+z\vec C confirmă (x,y,z)=(17,47,27)(x,y,z)=\left(\dfrac17,\dfrac47,\dfrac27\right). ✓
În aplicațieÎncă 67 exerciții cu vectori în planIntră în cont și continui direct de la vectori în plan — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 9-a