Relațiile lui Viète — polinoame de gradul 3

Pentru polinomul $f(X) = aX^3 + bX^2 + cX + d$, cu $a \neq 0$ și rădăcinile $x_1, x_2, x_3$ — adică $f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = 0$ — relațiile lui Viète leagă rădăcinile de coeficienți. Tot ce urmează se construiește din cele trei sume de bază.

De unde vine: ridici $S_1$ la pătrat și scazi ce e în plus — dezvoltarea conține pătratele, plus de două ori suma produselor luate câte două, adică $2S_2$:
$$(x_1+x_2+x_3)^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2\underbrace{(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)}_{S_2}$$

De unde vine: aduci la același numitor și recunoști ambele sume:
$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{\overbrace{x_2x_3 + x_1x_3 + x_1x_2}^{S_2}}{\underbrace{x_1x_2x_3}_{S_3}}$$

De unde vine: numitorul comun e $x_1x_2x_3$, iar fiecare fracție se completează cu factorul care îi lipsește:
$$\frac{1}{x_1x_2} + \frac{1}{x_2x_3} + \frac{1}{x_1x_3} = \frac{\overbrace{x_3 + x_1 + x_2}^{S_1}}{\underbrace{x_1x_2x_3}_{S_3}}$$

De unde vine: aici folosești chiar faptul că $x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcini — fiecare verifică ecuația $f(x) = 0$. Scrii cele 3 relații una sub alta și le aduni:
$$\begin{aligned} ax_1^3 + bx_1^2 + cx_1 + d &= 0 \\ ax_2^3 + bx_2^2 + cx_2 + d &= 0 \\ ax_3^3 + bx_3^2 + cx_3 + d &= 0 \end{aligned}$$
$$a(x_1^3+x_2^3+x_3^3) + b(x_1^2+x_2^2+x_3^2) + c(x_1+x_2+x_3) + 3d = 0$$
Împarți la $a$ și înlocuiești $\frac{b}{a} = -S_1$, $\frac{c}{a} = S_2$, $\frac{d}{a} = -S_3$:
$$(x_1^3+x_2^3+x_3^3) - S_1\underbrace{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}_{S_1^2 - 2S_2} + S_2S_1 - 3S_3 = 0$$
De unde:
$$x_1^3+x_2^3+x_3^3 = S_1(S_1^2 - 2S_2) - S_1S_2 + 3S_3 = S_1^3 - 3S_1S_2 + 3S_3$$
Atenție: constanta $d$ apare o dată în fiecare din cele 3 ecuații, deci la adunare devine $3d$ (nu $d$). La fel, $3S_3$ în formula finală.