Daily Math · 2026-05-19 - trei probleme despre Combinatorică (aranjamente și combinări), Inecuații, Integrala definită

Fie $n \in \mathbb{N}^*$, $n \geq 2$. Dacă $A_n^2 + C_n^2 = 30$, atunci $n$ este egal cu:

Scriem formulele: $A_n^2 = n(n-1)$ și $C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}$. Condiția devine: $$n(n-1) + \frac{n(n-1)}{2} = 30 \implies \frac{3n(n-1)}{2} = 30 \implies n(n-1) = 20.$$ Ecuația $n^2 - n - 20 = 0$ are soluțiile $n = 5$ și $n = -4$. Deoarece $n \in \mathbb{N}^*$, rezultă $n = 5$. Verificare: $A_5^2 = 20$, $C_5^2 = 10$, suma $= 30$. ✓

Capcana frecventă este confundarea relației dintre aranjamente și combinări: $A_n^2 = 2 \cdot C_n^2$, deci suma lor este $3 \cdot C_n^2$. Elevii care aplică greșit formula sau uită factorul $\tfrac{3}{2}$ ajung la $n=4$ sau $n=6$. Cheia este să reduci tot la $n(n-1)$ înainte de a rezolva ecuația.

Mulțimea soluțiilor inecuației $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x < 9^{x-1}$ este:

Rescriem cu baza $3$: $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}$ și $9^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2}$. Inecuația devine $3^{-x} < 3^{2x-2}$. Deoarece baza $3 > 1$, funcția exponențială este crescătoare, deci: $$-x < 2x - 2 \implies -3x < -2 \implies x > \frac{2}{3}.$$ Soluția este $x \in \left(\dfrac{2}{3}, +\infty\right)$.

Greșeala tipică: elevii uită să scrie $9^{x-1} = 3^{2x-2}$ (nu $3^{2x-1}$), obținând $x > \tfrac{1}{3}$. O altă capcană este să inverseze sensul inecuației la împărțirea prin $-3$, ajungând la $x < \tfrac{2}{3}$. Verificare rapidă: $x = 1 > \tfrac{2}{3}$ satisface inecuația ($\tfrac{1}{3} < 1$). ✓

Valoarea integralei $\displaystyle\int_1^{e^2} \frac{\ln x}{2x}\, dx$ este:

Folosim substituția $u = \ln x$, deci $du = \dfrac{1}{x}\,dx$. Schimbăm limitele: când $x = 1$, $u = 0$; când $x = e^2$, $u = 2$. Integrala devine: $$\int_0^2 \frac{u}{2}\, du = \left[\frac{u^2}{4}\right]_0^2 = \frac{4}{4} - 0 = 1.$$

Două capcane clasice: (1) uitarea factorului $\tfrac{1}{2}$ din integranda — dă rezultatul $2$; (2) omiterea schimbării limitelor de integrare la substituție — duce la calcule greșite. Substituția $u = \ln x$ este naturală pentru integranzi de forma $f(\ln x)/x$, iar limitele noi $[0, 2]$ simplifică imediat calculul.