Daily Math · 2026-05-18 - trei probleme despre Progresii aritmetice, Determinanți, Asimptote

Fie progresia aritmetică $(a_n)_{n \geq 1}$ cu $a_1 = 7$ și rația $r = -3$. Calculați suma primilor $12$ termeni, $S_{12}$.

Termenul al 12-lea: $a_{12} = 7 + 11 \cdot (-3) = 7 - 33 = -26$. Suma primilor $n$ termeni ai unei PA: $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$. $$S_{12} = \dfrac{(7 + (-26)) \cdot 12}{2} = \dfrac{(-19) \cdot 12}{2} = \dfrac{-228}{2} = -114.$$

Capcanele clasice: (A) uitarea împărțirii la 2 dă $-228$; (B) folosirea lui $n=12$ în loc de $n-1=11$ la termenul general dă $a_{12}=-29$ și $S_{12}=-132$; (C) ignorarea semnului negativ al rației dă $282$. Atenție la semnul rației și la formula $a_n = a_1 + (n-1)r$.

Calculați determinantul matricei $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.$$

Dezvoltăm după prima coloană (doi cofactori, al doilea cu $a_{21}=0$ e zero): $$\det A = 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 0 + 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix}$$ $= 2\bigl(4 \cdot(-1) - (-2)\cdot 2\bigr) + \bigl((-1)(-2) - 3 \cdot 4\bigr)$ $= 2(-4 + 4) + (2 - 12) = 2 \cdot 0 + (-10) = -10.$ Verificare prin regula lui Sarrus: $2\cdot4\cdot(-1)+(-1)(-2)(1)+3\cdot0\cdot2 - 1\cdot4\cdot3 - 2\cdot(-2)\cdot2-(-1)\cdot0\cdot(-1)$ $= -8+2+0-12+8-0 = -10.$ ✓

Greșeala frecventă este semnul cofactorului $A_{31}$: la dezvoltare pe coloana 1, semnele sunt $+, -, +$, deci $A_{31}$ se adaugă (nu se scade). Mulți inversează ultimul semn și obțin $-10+10=0$ sau adună greșit minorul $2\times2$ al lui $a_{31}$, ajungând la $-14$ sau $-6$.

Determinați asimptotele funcției $f : \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}$, $$f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}.$$

Asimptota verticală: Numitorul se anulează în $x = 2$; numărătorul în $x=2$ dă $4-8+3=-1\neq 0$, deci $x=2$ este asimptotă verticală. Asimptota oblică: Împărțim $x^2-4x+3$ la $x-2$: $$x^2-4x+3 = (x-2)(x-2) - 1,$$ deoarece $(x-2)^2 = x^2-4x+4$ și $x^2-4x+3 = x^2-4x+4 - 1$. Așadar $f(x) = (x-2) - \dfrac{1}{x-2}$. Când $x \to \pm\infty$, $\dfrac{1}{x-2}\to 0$, deci asimptota oblică este $y = x - 2$. Nu există asimptotă orizontală (gradul numărătorului depășește gradul numitorului cu 1).

Dacă rădăcinile numărătorului ($x=1$ și $x=3$) nu coincid cu $x=2$, nu generează asimptote verticale — ele sunt zerouri ale funcției, nu puncte de discontinuitate. Asimptota oblică se găsește prin împărțire polinom la polinom: $m = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=1$ și $n=\lim_{x\to\infty}(f(x)-x)=-2$, deci $y=x-2$.