pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Înapoi la articole

Probleme · 2026-05-21

Daily Math · 2026-05-21 - trei probleme despre Funcții exponențiale, Sisteme de ecuații liniare, Limite de șiruri

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problema 1 · Funcții exponențiale

Determină mulțimea soluțiilor ecuației 23x+1=16⋅2x2^{3x+1} = 16 \cdot 2^x.
  1. x=1x = 1
  2. x=2x = 2
  3. x=32x = \dfrac{3}{2}
  4. x=4x = 4

Soluție

Scriem 16=2416 = 2^4, deci ecuația devine 23x+1=2x+42^{3x+1} = 2^{x+4}. Cum baza 2>12 > 1, egalăm exponenții: 3x+1=x+43x + 1 = x + 4, adică 2x=32x = 3, de unde x=32x = \dfrac{3}{2}.
Capcanele clasice: a uita că 16=2416 = 2^4 și a lăsa 1616 ca factor (obținând x=1x=1), sau a aduna greșit termenii (x=2x=2). Cheia este rescrierea tuturor puterilor în aceeași bază, urmată de identificarea expoenenților.

Problema 2 · Sisteme de ecuații liniare

Fie sistemul {2x+my=1mx+2y=−1\begin{cases} 2x + my = 1 \\ mx + 2y = -1 \end{cases}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Pentru ce valoare a lui mm sistemul este incompatibil (nu are soluții)?
  1. m=0m = 0
  2. m=−2m = -2
  3. m∈{−2, 2}m \in \{-2,\, 2\}
  4. m=2m = 2

Soluție

Determinantul matricei sistemului este Δ=4−m2\Delta = 4 - m^2. Δ=0⇔m=±2\Delta = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2. Pentru m=2m = 2: ecuațiile devin 2x+2y=12x + 2y = 1 și 2x+2y=−12x + 2y = -1, contradictorii — sistem incompatibil. Pentru m=−2m = -2: ecuațiile devin 2x−2y=12x - 2y = 1 și −2x+2y=−1-2x + 2y = -1, adică aceeași ecuație — sistem compatibil nedeterminat. Deci m=2m = 2.
Greșeala tipică este a declara ambele valori m=±2m=\pm2 drept răspuns, fără a verifica dacă Δ=0\Delta=0 conduce la incompatibilitate sau la infinit de soluții. Verificarea rang–rang este obligatorie după anularea determinantului.

Problema 3 · Limite de șiruri

Calculează lim⁡n→∞n(n2+4−n)\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{n^2 + 4} - n\right).
  1. 00
  2. 22
  3. 44
  4. +∞+\infty

Soluție

Înmulțim și împărțim cu conjugata: n(n2+4−n)=n⋅(n2+4)−n2n2+4+n=4nn2+4+nn\left(\sqrt{n^2+4}-n\right) = n \cdot \dfrac{(n^2+4)-n^2}{\sqrt{n^2+4}+n} = \dfrac{4n}{\sqrt{n^2+4}+n}. Împărțim numărătorul și numitorul prin nn: 41+4n2+1→n→∞41+1=2\dfrac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}+1} \xrightarrow{n\to\infty} \dfrac{4}{1+1} = 2.
Capcanele frecvente: a concluziona că n2+4−n→0\sqrt{n^2+4} - n \to 0 și deci limita este 00 (forma nedeterminată ∞⋅0\infty \cdot 0 trebuie rezolvată), sau a uita să împarți prin nn sub radical și a obține 44. Conjugata transformă forma ∞⋅0\infty\cdot 0 într-un raport 4n2n=2\frac{4n}{2n}=2.
1 / 3
EasyFuncții exponențiale
Determină mulțimea soluțiilor ecuației .