pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Înapoi la articole

Probleme · 2026-05-22

Daily Math · 2026-05-22 - trei probleme despre Progresii geometrice, Probabilități, Derivate (regula câtului)

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problema 1 · Progresii geometrice

Fie șirul geometric (bn)n≥1(b_n)_{n\geq 1} cu b1=5b_1 = 5 și rația q=3q = 3. Calculați suma primilor patru termeni S4=b1+b2+b3+b4S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4.
  1. 195195
  2. 200200
  3. 205205
  4. 180180

Soluție

Termenii sunt b1=5,  b2=15,  b3=45,  b4=135b_1=5,\; b_2=15,\; b_3=45,\; b_4=135. Folosim formula sumei unui șir geometric: S4=b1⋅q4−1q−1=5⋅81−12=5⋅40=200.S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 - 1}{q - 1} = 5 \cdot \frac{81-1}{2} = 5 \cdot 40 = 200. Verificare directă: 5+15+45+135=2005+15+45+135 = 200. ✓
Capcana clasică este adunarea greșită a ultimului termen: b4=5⋅33=135b_4 = 5\cdot 3^3 = 135, nu 130130 sau 120120. Formula Sn=b1qn−1q−1S_n = b_1\frac{q^n-1}{q-1} evită erorile de calcul pas cu pas. De reținut: la rație q=3q=3, termenii cresc rapid — este ușor să greșești puterea lui 33.

Problema 2 · Probabilități

O urnă conține 44 bile roșii, 33 bile albastre și 22 bile verzi. Se extrag simultan 22 bile. Care este probabilitatea ca ambele bile extrase să fie de același culoare?
  1. 518\dfrac{5}{18}
  2. 13\dfrac{1}{3}
  3. 718\dfrac{7}{18}
  4. 49\dfrac{4}{9}

Soluție

Numărul total de moduri de a extrage 2 bile din 9 este (92)=36\binom{9}{2} = 36. Cazurile favorabile (ambele bile de aceeași culoare): - ambele roșii: (42)=6\binom{4}{2} = 6 - ambele albastre: (32)=3\binom{3}{2} = 3 - ambele verzi: (22)=1\binom{2}{2} = 1 Total cazuri favorabile: 6+3+1=106 + 3 + 1 = 10. P=1036=518.P = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}.
Distracția 13\frac{1}{3} vine din a ignora combinările și a împărți 927\frac{9}{27} greșit. Distracția 718\frac{7}{18} apare când elevul numără doar bile roșii și albastre (omite verzile). Cheia este să aplici (n2)\binom{n}{2} pe fiecare culoare separat și să folosești (92)=36\binom{9}{2}=36 la numitor, nu 929^2.

Problema 3 · Derivate (regula câtului)

Fie funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2−2x2+1f(x) = \dfrac{3x^2 - 2}{x^2 + 1}. Calculați f′(1)f'(1).
  1. 54\dfrac{5}{4}
  2. 22
  3. 109\dfrac{10}{9}
  4. 52\dfrac{5}{2}

Soluție

Aplicăm regula câtului (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}, unde u=3x2−2u = 3x^2-2 și v=x2+1v = x^2+1: u′=6x,v′=2x.u' = 6x, \quad v' = 2x. f′(x)=6x(x2+1)−(3x2−2)⋅2x(x2+1)2=6x3+6x−6x3+4x(x2+1)2=10x(x2+1)2.f'(x) = \frac{6x(x^2+1) - (3x^2-2)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{6x^3 + 6x - 6x^3 + 4x}{(x^2+1)^2} = \frac{10x}{(x^2+1)^2}. Pentru x=1x=1: f′(1)=10⋅1(1+1)2=104=52.f'(1) = \frac{10 \cdot 1}{(1+1)^2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}.
Greșeala 54\frac{5}{4} apare când elevul calculează (12+1)2=8(1^2+1)^2 = 8 în loc de 44. Greșeala 109\frac{10}{9} vine din a lua v(1)=3v(1)=3 în loc de v(1)=2v(1)=2. Regula câtului cere atenție la semnul minus din u′v−uv′u'v - uv' — termenii 6x36x^3 se anulează frumos, lăsând 10x10x la numărător.
1 / 3
EasyProgresii geometrice
Fie șirul geometric cu și rația . Calculați suma primilor patru termeni .