Daily Math · 2026-05-29 - trei probleme despre Logaritmi, Produs scalar și vectori, Puncte de extrem

Calculați valoarea expresiei $E = 2\log_6 3 + \log_6 4$.

Aplicăm proprietatea $k\log_a x = \log_a x^k$: $2\log_6 3 = \log_6 9$. Apoi, prin proprietatea produsului: $E = \log_6 9 + \log_6 4 = \log_6(9 \cdot 4) = \log_6 36$. Deoarece $36 = 6^2$, avem $\log_6 36 = 2$. Deci $E = 2$.

Capcana clasică este adunarea argumentelor în loc de înmulțirea lor ($\log_6 9 + \log_6 4 \neq \log_6 13$). Cheia este să recunoști $9 \cdot 4 = 36 = 6^2$ și să aplici corect $\log_a a^k = k$. Varianta $\log_6 12$ apare dacă se înmulțesc bazele argumentelor, nu argumentele.

Se consideră vectorii $\vec{a} = (t,\, 2,\, -3)$ și $\vec{b} = (1,\, t,\, 2)$, cu $t \in \mathbb{R}$. Știind că $\vec{a} \perp \vec{b}$, determinați valoarea lui $t$.

Condiția de perpendicularitate este $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Calculăm produsul scalar: $\vec{a} \cdot \vec{b} = t \cdot 1 + 2 \cdot t + (-3) \cdot 2 = t + 2t - 6 = 3t - 6$. Impunem $3t - 6 = 0$, deci $t = 2$. Verificare: $\vec{a} = (2,2,-3)$, $\vec{b} = (1,2,2)$, $\vec{a}\cdot\vec{b} = 2+4-6=0$. ✓

Greșeala frecventă este calculul greșit al produsului scalar (omiterea unui termen sau semn greșit la componenta a treia). Distribuirea pe componente trebuie făcută riguros: $t\cdot1 + 2\cdot t + (-3)\cdot2$. Distractorii aleg valori care anulează câte un singur termen al sumei.

Fie funcția $f: \mathbb{R}\setminus\{1\} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}$. Valoarea minimului local al lui $f$ este:

Calculăm derivata: $f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - x^2 \cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$. Deoarece $(x-1)^2 > 0$, semnul lui $f'$ depinde de $x(x-2)$. Punctele critice sunt $x = 0$ și $x = 2$. Pe $(1, 2)$: $f' < 0$; pe $(2, +\infty)$: $f' > 0$, deci $x = 2$ este punct de minim local. $f(2) = \dfrac{4}{1} = 4$.

Funcțiile raționale au puncte de extrem de ambele părți ale asimptotei verticale — o capcană față de funcțiile polinomiale. La $x=0$, funcția are un maxim local ($f(0)=0$), nu minim. Distractorul $-4$ apare din confuzia cu maximul local $f(0)=0$ și negarea lui, iar $2$ din substituirea $x=2$ în numitor în loc de $f(2)$.