Daily Math · 2026-05-31 - trei probleme despre Progresii geometrice, Ecuația cercului, Limite de șiruri

Fie $(a_n)_{n \geq 1}$ o progresie geometrică cu $a_1 = 5$ și rația $q = 3$. Suma primilor patru termeni $S_4$ este egală cu:

Termenul general este $a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$, deci $a_1 = 5$, $a_2 = 15$, $a_3 = 45$, $a_4 = 135$. Aplicând formula sumei pentru $q \neq 1$:\n$$S_4 = a_1 \cdot \dfrac{q^4 - 1}{q - 1} = 5 \cdot \dfrac{3^4 - 1}{3 - 1} = 5 \cdot \dfrac{80}{2} = 5 \cdot 40 = 200.$$\nRăspuns corect: $\boxed{200}$.

Greșeala tipică este să împarți la $q$ în loc de $q - 1$, obținând 135 (adică $a_4$ singur sau o sumă trunchiatǎ). Altă capcană: $3^4 = 81$, nu 64 — confuzie cu $2^6$. Asigură-te că scazi 1 din $q^n$ înainte să împarți.

Cercul $\mathcal{C}$ are centrul $C(2,\,-3)$ și trece prin punctul $P(-1,\,1)$. Ecuația cercului $\mathcal{C}$ este:

Raza satisface $r^2 = |CP|^2$:\n$$r^2 = (2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2 = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25.$$\nEcuația cercului cu centrul $(a, b)$ și raza $r$ este $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, deci:\n$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25.$$

Trei capcane clasice: (1) inversarea semnelor centrului — scriind $(x+2)^2+(y-3)^2$ în loc de $(x-2)^2+(y+3)^2$; (2) uitarea de a ridica la pătrat distanța, punând $r = 5$ în loc de $r^2 = 25$; (3) calcul greșit al distanței, de exemplu adunând coordonatele în loc să le scadă.

Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 6n} - n\right)$ este:

Expresia are forma $\infty - \infty$, indeterminare. Raționalizăm înmulțind și împărțind cu conjugata:\n$$\sqrt{n^2+6n} - n = \frac{(\sqrt{n^2+6n} - n)(\sqrt{n^2+6n} + n)}{\sqrt{n^2+6n} + n} = \frac{n^2+6n - n^2}{\sqrt{n^2+6n}+n} = \frac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}.$$\nÎmpărțind numărătorul și numitorul prin $n > 0$:\n$$\frac{6}{\sqrt{1 + \tfrac{6}{n}} + 1} \xrightarrow{n \to \infty} \frac{6}{\sqrt{1}+1} = \frac{6}{2} = 3.$$

Capcana principală: $\infty - \infty \neq 0$ și $\neq \infty$ — răspunsul 0 și $+\infty$ vin din a trata indeterminarea fără raționalizare. Răspunsul 6 apare dacă uiți că numitorul devine $1 + 1 = 2$ după trecere la limită. Raționalizarea cu conjugata este tehnica standard pentru diferențe de radicali.