pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Înapoi la articole

Probleme · 2026-06-01

Daily Math · 2026-06-01 - trei probleme despre Numere complexe, Trigonometrie (valori), Derivate (funcții compuse)

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problema 1 · Numere complexe

Fie z=2−iz = 2 - i. Calculați ∣z∣2+Re⁡(z2)|z|^2 + \operatorname{Re}(z^2).
  1. 55
  2. 77
  3. 88
  4. 1010

Soluție

∣z∣2=22+(−1)2=5|z|^2 = 2^2 + (-1)^2 = 5. Pentru z2z^2: (2−i)2=4−4i+i2=4−4i−1=3−4i(2-i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i, deci Re⁡(z2)=3\operatorname{Re}(z^2) = 3. Asadar ∣z∣2+Re⁡(z2)=5+3=8|z|^2 + \operatorname{Re}(z^2) = 5 + 3 = \boxed{8}.
Greșeala clasică este confundarea lui Re⁡(z2)\operatorname{Re}(z^2) cu (Re⁡(z))2=4(\operatorname{Re}(z))^2 = 4. Se calculează întâi z2z^2 explicit, apoi se extrage partea reală. ∣z∣2|z|^2 se obține direct din definiție, fără a calcula ∣z∣|z| ca radical.

Problema 2 · Trigonometrie (valori)

Calculați sin⁡120∘⋅cos⁡210∘tan⁡240∘\dfrac{\sin 120^\circ \cdot \cos 210^\circ}{\tan 240^\circ}.
  1. 34\dfrac{\sqrt{3}}{4}
  2. −34-\dfrac{3}{4}
  3. −34-\dfrac{\sqrt{3}}{4}
  4. 34\dfrac{3}{4}

Soluție

sin⁡120∘=32\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡210∘=−32\quad \cos 210^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, tan⁡240∘=tan⁡(180∘+60∘)=tan⁡60∘=3\quad \tan 240^\circ = \tan(180^\circ+60^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}. Numărătorul: 32⋅(−32)=−34\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{3}{4}. Împărțind: −3/43=−343=−3312=−34\dfrac{-3/4}{\sqrt{3}} = -\dfrac{3}{4\sqrt{3}} = -\dfrac{3\sqrt{3}}{12} = -\dfrac{\sqrt{3}}{4}.
Două capcane se suprapun: semnul lui cos⁡210°\cos 210° (cadranul III, negativ) și reducerea fracției finale prin raționalizarea numitorului 3\sqrt{3}. Greșind oricare dintre semne se obține +3/4+\sqrt{3}/4; uitând împărțirea la tan⁡\tan se obține −3/4-3/4.

Problema 3 · Derivate (funcții compuse)

Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=esin⁡2xf(x) = e^{\sin^2 x}. Calculați f′ ⁣(π6)f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right).
  1. 32 e1/4\dfrac{\sqrt{3}}{2}\, e^{1/4}
  2. 12 e1/4\dfrac{1}{2}\, e^{1/4}
  3. 3 e1/4\sqrt{3}\, e^{1/4}
  4. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Soluție

Aplicând regula derivatei funcției compuse: f′(x)=esin⁡2x⋅(sin⁡2x)′=esin⁡2x⋅2sin⁡xcos⁡x=esin⁡2x⋅sin⁡2x.f'(x) = e^{\sin^2 x} \cdot \left(\sin^2 x\right)' = e^{\sin^2 x} \cdot 2\sin x \cos x = e^{\sin^2 x} \cdot \sin 2x. La x=π6x = \dfrac{\pi}{6}: sin⁡2 ⁣π6=(12)2=14,sin⁡π3=32.\sin^2\!\frac{\pi}{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}, \quad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}. Deci f′ ⁣(π6)=e1/4⋅32f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = e^{1/4} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Funcția compusă triplă eue^u cu u=sin⁡2x=(sin⁡x)2u=\sin^2 x = (\sin x)^2 necesită două aplicări ale regulii lanțului. Distracția frecventă este a folosi sin⁡(2⋅π/6)=sin⁡(π/3)=3/2\sin(2\cdot\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2 corect, dar a uita factorul esin⁡2(π/6)=e1/4e^{\sin^2(\pi/6)}=e^{1/4}, sau a confunda sin⁡2(π/6)\sin^2(\pi/6) cu sin⁡(π2/36)\sin(\pi^2/36).
1 / 3
EasyNumere complexe
Fie . Calculați .