pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Înapoi la articole

Probleme · 2026-06-04

Daily Math · 2026-06-04 - trei probleme despre Numere complexe — modul și conjugat, Primitive — forma $f'/f$, Produs scalar — unghiul dintre doi vectori

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problema 1 · Numere complexe — modul și conjugat

Se consideră numărul complex z=3−4iz = 3 - 4i. Modulul lui zz este:
  1. 55
  2. 2525
  3. 7\sqrt{7}
  4. 77

Soluție

Pentru un număr complex z=a+biz = a + bi, modulul se calculează cu formula ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, unde aa este partea reală și bb partea imaginară. În cazul z=3−4iz = 3 - 4i avem a=3a = 3 și b=−4b = -4. Astfel ∣z∣=32+(−4)2=9+16=25=5|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. Modulul lui zz este 55.
Cheia: ∣a+bi∣=a2+b2|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}, iar pătratul lui −4-4 este pozitiv. Capcana 2525 apare dacă uiți de radical și te oprești la a2+b2a^2+b^2. Valoarea 7\sqrt{7} vine din scăderea greșită 16−9\sqrt{16-9} (semnul minus al lui −4i-4i tratat ca o scădere sub radical). Iar 77 rezultă din adunarea directă 3+43+4, fără ridicarea la pătrat.

Problema 2 · Primitive — forma $f'/f$

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xx2+3f(x)=\dfrac{2x}{x^2+3}. Valoarea integralei ∫012xx2+3 dx\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2+3}\,dx este:
  1. ln⁡43\ln\dfrac{4}{3}
  2. 12ln⁡43\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{4}{3}
  3. ln⁡12\ln 12
  4. ln⁡34\ln\dfrac{3}{4}

Soluție

Observăm că numărătorul este exact derivata numitorului: dacă notăm g(x)=x2+3g(x)=x^2+3, atunci g′(x)=2xg'(x)=2x. Integrandul are forma g′(x)g(x)\dfrac{g'(x)}{g(x)}, a cărei primitivă este ln⁡∣g(x)∣\ln|g(x)|. Deoarece x2+3>0x^2+3>0 pentru orice xx, putem scrie: ∫012xx2+3 dx=[ln⁡(x2+3)]01.\int_0^1 \frac{2x}{x^2+3}\,dx = \Big[\ln(x^2+3)\Big]_0^1. Evaluăm la capete: ln⁡(12+3)−ln⁡(02+3)=ln⁡4−ln⁡3=ln⁡43.\ln(1^2+3)-\ln(0^2+3)=\ln 4-\ln 3=\ln\frac{4}{3}. Valoarea integralei este ln⁡43\ln\dfrac{4}{3}.
Cheia: a recunoaște forma f′/ff'/f, cu primitiva ln⁡∣f∣\ln|f|. Distractorul 12ln⁡43\tfrac12\ln\tfrac43 apare dacă se adaugă inutil factorul 12\tfrac12 (confuzie cu ∫xx2+3\int \tfrac{x}{x^2+3}). ln⁡12\ln 12 rezultă din ln⁡4+ln⁡3\ln 4+\ln 3 în loc de scădere (sau ln⁡(4⋅3)\ln(4\cdot3)). ln⁡34\ln\tfrac34 provine din inversarea capetelor, ln⁡3−ln⁡4\ln 3-\ln 4.

Problema 3 · Produs scalar — unghiul dintre doi vectori

Se consideră vectorii u⃗=2i⃗+j⃗\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j} și v⃗=i⃗+3j⃗\vec{v}=\vec{i}+3\vec{j}. Măsura unghiului θ\theta dintre vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} este:
  1. 45∘45^\circ
  2. 60∘60^\circ
  3. 30∘30^\circ
  4. 90∘90^\circ

Soluție

Unghiul dintre doi vectori se determină din formula produsului scalar: cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣ ∣v⃗∣\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}. Produsul scalar: u⃗⋅v⃗=2⋅1+1⋅3=2+3=5\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 1+1\cdot 3=2+3=5. Normele: ∣u⃗∣=22+12=5|\vec{u}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} și ∣v⃗∣=12+32=10|\vec{v}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}. Așadar cos⁡θ=55⋅10=550=552=12=22\cos\theta=\dfrac{5}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}=\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Cum cos⁡θ=22\cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, rezultă θ=45∘\theta=45^\circ.
Cheia este formula cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}, care dă 22\frac{\sqrt2}{2}, deci 45∘45^\circ. Distractorul 60∘60^\circ vine din confundarea valorii 22\frac{\sqrt2}{2} cu 12\frac12; 30∘30^\circ provine din cos⁡θ=32\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2} (eroare la norme); iar 90∘90^\circ apare la elevii care presupun greșit perpendicularitatea, deși produsul scalar este 5≠05\neq 0.
1 / 3
EasyNumere complexe — modul și conjugat
Se consideră numărul complex . Modulul lui este: