Daily Math · 2026-06-03 - trei probleme despre Progresii aritmetice, Trigonometrie — formula unghiului dublu, Derivate — ecuația tangentei

Într-o progresie aritmetică $(a_n)_{n\ge 1}$ avem primul termen $a_1=3$ și rația $r=4$. Calculați suma primilor $10$ termeni, $S_{10}$.

Termenul general al unei progresii aritmetice este $a_n=a_1+(n-1)r$. Pentru ultimul termen al sumei avem $a_{10}=a_1+9r=3+9\cdot 4=3+36=39$. Suma primilor $n$ termeni este $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$. Astfel: $$S_{10}=\dfrac{10\,(a_1+a_{10})}{2}=\dfrac{10\,(3+39)}{2}=\dfrac{10\cdot 42}{2}=210.$$ Verificare cu formula echivalentă $S_n=\dfrac{n\bigl(2a_1+(n-1)r\bigr)}{2}=\dfrac{10\,(2\cdot 3+9\cdot 4)}{2}=\dfrac{10\cdot 42}{2}=210$. Așadar $S_{10}=210$.

Cheia este $a_{10}=a_1+9r=39$ (nu $a_1+10r$), apoi $S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}$. Varianta $195$ vine din eroarea $a_{10}=a_1+10r=43$, deci $\frac{10(3+43)}{2}-...$ ori dintr-o numărare greșită a termenilor. $420$ apare la cei care uită împărțirea la $2$ ($10\cdot 42$). $390$ provine din $10\cdot a_{10}=10\cdot 39$, înmulțind eronat numărul de termeni cu ultimul termen.

Fie $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ astfel încât $\sin x=\dfrac{3}{5}$. Valoarea lui $\sin 2x$ este:

Deoarece $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$, unghiul este în primul cadran, deci $\cos x>0$. Din identitatea fundamentală $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ obținem $\cos^2 x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$, deci $\cos x=\dfrac{4}{5}$. Aplicăm formula unghiului dublu: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Înlocuind: $\sin 2x=2\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{25}$. Așadar $\sin 2x=\dfrac{24}{25}$.

Cheia este $\sin 2x=2\sin x\cos x$ cu $\cos x=\frac{4}{5}$ determinat din semnul din primul cadran. Varianta $\frac{12}{25}$ apare la uitarea factorului $2$ (doar $\sin x\cos x$). Varianta $\frac{7}{25}$ confundă cu $\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=\frac{16-9}{25}$. Varianta $\frac{18}{25}$ este $2\sin^2 x$, o aplicare greșită a formulei.

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+2$. Tangenta la graficul lui $f$ care este paralelă cu dreapta $d:\,y=9x-1$ și are punctul de tangență de abscisă pozitivă are ecuația:

Paralelismul cu $d:\,y=9x-1$ impune ca panta tangentei să fie egală cu $9$, adică $f'(a)=9$, unde $a$ este abscisa punctului de tangență. Derivata este $f'(x)=3x^2-6x$. Din $3a^2-6a=9$ obținem $a^2-2a-3=0$, deci $(a-3)(a+1)=0$, cu soluțiile $a=3$ și $a=-1$. Condiția „abscisă pozitivă" selectează $a=3$. Calculăm ordonata punctului: $f(3)=27-27+2=2$, deci punctul de tangență este $(3,2)$. Ecuația tangentei în punctul de abscisă $a$ este $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. Cu $f(3)=2$, $f'(3)=9$ și $a=3$: $$y=2+9(x-3)=9x-27+2=9x-25.$$ Așadar tangenta cerută are ecuația $y=9x-25$.

Cheia: $f'(a)=9$ dă două soluții ($a=3,\,-1$), iar condiția de abscisă pozitivă fixează $a=3$. Varianta $9x+7$ provine din alegerea greșită $a=-1$, cu $f(-1)=-2$. Varianta $9x+25$ inversează semnul în $f(a)-f'(a)\cdot a=2-27$. Varianta $9x+29$ folosește formula greșită $y=f(a)+f'(a)(x+a)$, adunând $f'(a)\cdot a$ în loc de a-l scădea.