Daily Math · 2026-06-06 - trei probleme despre Funcția de gradul al II-lea — coordonatele vârfului, Integrala definită — Leibniz–Newton, Ecuație trigonometrică — numărul de soluții

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+5$. Coordonatele vârfului parabolei asociate graficului funcției $f$ sunt:

Pentru funcția de gradul al II-lea $f(x)=ax^2+bx+c$, vârful parabolei are coordonatele $V\left(-\dfrac{b}{2a},\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$, unde $\Delta=b^2-4ac$. Aici $a=1$, $b=-6$, $c=5$. Abscisa vârfului este $x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2\cdot 1}=\dfrac{6}{2}=3$. Calculăm $\Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$, deci ordonata vârfului este $y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{16}{4}=-4$. Verificare directă: $f(3)=3^2-6\cdot 3+5=9-18+5=-4$. Prin urmare vârful este $V(3,-4)$.

Cheia: $x_V=-\dfrac{b}{2a}$ cu semnul corect al lui $b=-6$, iar $y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}$ cu minus. Capcana $V(-3,-4)$ apare din omiterea semnului minus la abscisă (se calculează $\dfrac{b}{2a}=-3$). Varianta $V(3,4)$ vine din uitarea minusului la ordonată ($\dfrac{\Delta}{4a}=4$), iar $V(-3,4)$ combină ambele erori de semn.

Calculați valoarea integralei definite $$\int_0^2 \left(3x^2 - 2x\right)\,dx.$$

Determinăm o primitivă $F$ a funcției $f(x)=3x^2-2x$ folosind regula puterii: $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. Avem $\int 3x^2\,dx = 3\cdot\dfrac{x^3}{3}=x^3$ și $\int (-2x)\,dx = -2\cdot\dfrac{x^2}{2}=-x^2$, deci $F(x)=x^3-x^2$. Aplicăm formula Leibniz–Newton: $$\int_0^2 (3x^2-2x)\,dx = F(2)-F(0).$$ Calculăm $F(2)=2^3-2^2=8-4=4$ și $F(0)=0^3-0^2=0$. Așadar valoarea integralei este $4-0=\boxed{4}$.

Cheia este primitiva corectă $F(x)=x^3-x^2$ și ordinea $F(2)-F(0)$. Varianta $8$ apare dacă uiți termenul $-2x$ (primitiva $x^3$, deci $8-0$). Varianta $0$ vine din primitiva greșită a lui $-2x$ ca $-2x^2$ (atunci $F(2)=8-8=0$). Varianta $-4$ rezultă din inversarea limitelor, $F(0)-F(2)$.

Câte soluții are ecuația $\sin 2x = \sin x$ pe intervalul $[0,\,2\pi)$?

Folosim formula $\sin 2x = 2\sin x\cos x$. Ecuația devine $2\sin x\cos x = \sin x$, adică $2\sin x\cos x - \sin x = 0$. Dăm factor comun $\sin x$: $$\sin x\,(2\cos x - 1) = 0.$$ Important: nu împărțim prin $\sin x$, deoarece am pierde soluțiile pentru care $\sin x = 0$. Avem deci două cazuri. Cazul 1: $\sin x = 0$. Pe $[0,\,2\pi)$ soluțiile sunt $x = 0$ și $x = \pi$ (valoarea $x = 2\pi$ este exclusă, intervalul fiind deschis la dreapta). Cazul 2: $2\cos x - 1 = 0$, adică $\cos x = \dfrac{1}{2}$. Pe $[0,\,2\pi)$ soluțiile sunt $x = \dfrac{\pi}{3}$ și $x = \dfrac{5\pi}{3}$. Reunind, mulțimea soluțiilor este $\left\{0,\ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3}\right\}$, toate distincte. Prin urmare ecuația are $4$ soluții pe $[0,\,2\pi)$.

Cheia: factor comun $\sin x$, nu împărțire (care ar elimina rădăcinile $\sin x=0$). Răspunsul corect e $4$. Varianta $2$ apare când elevul împarte prin $\sin x$ și păstrează doar $\cos x=\tfrac12$. Varianta $3$ vine din uitarea soluției $x=\tfrac{5\pi}{3}$ la $\cos x=\tfrac12$. Varianta $5$ apare dacă tratează intervalul ca închis și adaugă greșit $x=2\pi$.