Daily Math · 2026-06-07 - trei probleme despre Logaritmi — proprietăți și schimbarea bazei, Continuitate — determinarea unui parametru, Aria triunghiului cu sinusul unghiului

Se consideră numărul $E=\log_2 6 + \log_2 \dfrac{16}{3}$. Valoarea lui $E$ este:

Folosim proprietatea sumei logaritmilor cu aceeași bază: $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$. Deci $E=\log_2 6 + \log_2 \dfrac{16}{3} = \log_2\!\left(6\cdot \dfrac{16}{3}\right)$. Calculăm produsul: $6\cdot \dfrac{16}{3} = \dfrac{96}{3} = 32$. Astfel $E=\log_2 32$. Cum $32 = 2^5$, rezultă $\log_2 32 = 5$. Valoarea cerută este $E=5$.

Cheia: suma logaritmilor de aceeași bază devine logaritmul produsului, iar $6\cdot\frac{16}{3}=32=2^5$. Distractorul $\log_2 18$ apare adunând argumentele ($6+\frac{16}{3}$ greșit interpretat, sau $6+12$). $32$ este argumentul produsului, oprit înainte de a aplica $\log_2$. $\frac{16}{3}$ provine din neglijarea primului termen.

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $$f(x)=\begin{cases} 2x+a, & x\le 1,\\[4pt] x^2+3x-1, & x>1,\end{cases}$$ unde $a\in\mathbb{R}$. Determinați valoarea lui $a$ pentru care $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$.

Fiecare ramură este o funcție polinomială, deci $f$ este continuă pe $(-\infty,1)$ și pe $(1,\infty)$. Singurul punct critic este racordul $x=1$. Limita la stânga (din ramura $2x+a$, care dă și valoarea funcției în $x=1$): $$\lim_{x\to 1^-}f(x)=f(1)=2\cdot 1+a=2+a.$$ Limita la dreapta (din ramura $x^2+3x-1$): $$\lim_{x\to 1^+}f(x)=1^2+3\cdot 1-1=1+3-1=3.$$ Continuitatea în $x=1$ cere egalitatea limitelor laterale cu valoarea funcției: $$2+a=3\ \Longrightarrow\ a=1.$$ Pentru $a=1$ funcția este continuă în $x=1$, deci pe tot $\mathbb{R}$. Răspunsul corect este $a=1$.

Cheia: la racord se egalează limita laterală cu valoarea funcției, $2+a=3$. Varianta $a=-1$ apare la rezolvarea greșită $a=2-3$ (semn inversat la mutarea termenului). Varianta $a=3$ vine din uitarea constantei $-1$ în ramura dreaptă ($1+3-1$ citit ca $5$ apoi... ) sau din $2+a=5$. Varianta $a=5$ rezultă din $1+3+1=5$, schimbând semnul lui $-1$ la calculul limitei la dreapta.

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=6$, $AC=10$ și măsura unghiului $\angle A=30^\circ$. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:

Aria unui triunghi exprimată cu ajutorul a două laturi și a unghiului dintre ele este $$\mathcal{A}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A.$$ Unghiul $A$ este cuprins între laturile $AB$ și $AC$, deci formula se aplică direct. Înlocuim valorile cunoscute, folosind $\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$: $$\mathcal{A}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \sin 30^\circ=\frac{1}{2}\cdot 60\cdot \frac{1}{2}=\frac{60}{4}=15.$$ Așadar aria triunghiului $ABC$ este $15$.

Cheia: $\sin 30^\circ=\tfrac12$ și factorul $\tfrac12$ din formulă. Varianta $30$ apare la uitarea factorului $\tfrac12$ ($\tfrac12\cdot60=30$, dar fără el iese $60\cdot\tfrac12$ greșit). Varianta $15\sqrt3$ confundă $\sin30^\circ$ cu $\cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$. Varianta $\tfrac{15}{2}$ aplică un factor $\tfrac12$ în plus.