Daily Math · 2026-06-11 - trei probleme despre Aria în coordonate polare, Monotonie — funcție cubică, Relațiile lui Viète — suma pătratelor rădăcinilor

Aria delimitată de curba $r = 2$ pentru $\theta \in [0, 2\pi]$ este:

Formula ariei în coordonate polare: $A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^{2}\,d\theta$. Pentru $r = 2$ pe $[0, 2\pi]$: $$A = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\pi = 4\pi.$$ Consistență: $r = 2$ este un cerc de rază $2$, deci aria $= \pi r^2 = 4\pi$. ✓ Varianta $2\pi$ apare dacă se integrează $r$ în loc de $r^2$. Varianta $8\pi$ provine din omiterea factorului $\tfrac12$. Varianta $\pi$ confundă raza cu $1$.

Cheia: formula polară are factorul $\dfrac{1}{2}$ și integrează $r^2$, nu $r$. Verificarea cu $\pi r^2$ este rapidă pentru orice cerc centrat la origine. Coordonatele polare sunt utile pentru curbe cu simetrie rotațională (spirale, rozete) unde calculul cartezian ar fi mult mai greoi.

Funcția $f(x) = x^{3} - 3x$ este descrescătoare pe intervalul:

Calculăm derivata: $f'(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$. Semnul lui $f'$: - $f'(x) > 0$ pentru $x < -1$ sau $x > 1$ (funcția este crescătoare); - $f'(x) < 0$ pentru $-1 < x < 1$ (funcția este descrescătoare). Deci $f$ este descrescătoare pe $(-1, 1)$. Varianta $(-\infty, -1)$ confundă intervalul de creștere cu cel de descreștere. Varianta $(1, \infty)$ idem. Varianta $\mathbb{R}$ ignoră că un polinom cubic crescător nu poate fi descrescător pe tot $\mathbb{R}$.

Cheia: $f'(x) < 0$ identifică intervalele de descreștere. Rădăcinile derivatei $x = \pm 1$ sunt punctele de extrem local. Verificare: $f'(0) = -3 < 0$, deci $0 \in (-1,1)$ este în intervalul de descreștere.

Fie $x_1, x_2, x_3$ rădăcinile (în $\mathbb{C}$) ale polinomului $f = 3X^3 - 6X^2 + 2X - 4$. Valoarea sumei $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ este:

Relațiile lui Viète pentru $aX^3 + bX^2 + cX + d$ cu $a = 3$, $b = -6$, $c = 2$: $$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = \frac{6}{3} = 2,$$ $$x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}.$$ Identitatea: $$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}.$$

Cheia: relațiile lui Viète cu coeficientul dominant $a = 3$ (nu $a = 1$!) și identitatea $\sum x_i^2 = (\sum x_i)^2 - 2\sum_{i<j} x_i x_j$. Greșeala cea mai frecventă: a citi $\sum x_i = 6$ în loc de $2$, ignorând că trebuie împărțit la $a = 3$.