pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Înapoi la articole

Probleme · 2026-06-10

Daily Math · 2026-06-10 - trei probleme despre Teorema lui Fermat — punct de extrem, Seria Maclaurin — coeficienți, Funcția radical — funcție inversă

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problema 1 · Teorema lui Fermat — punct de extrem

Prin Teorema lui Fermat pentru extremele interioare, dacă f(x)=x2−6x+5f(x) = x^{2} - 6x + 5 atinge minimul pe R\mathbb{R} în x=cx = c, atunci cc este egal cu:
  1. −3-3
  2. 00
  3. 33
  4. 55

Soluție

Teorema lui Fermat: dacă ff este derivabilă și atinge un extrem interior în cc, atunci f′(c)=0f'(c) = 0. Derivăm: f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6. Din f′(c)=0f'(c) = 0: 2c−6=02c - 6 = 0, deci c=3c = 3. Verificăm că este minim: f′′(x)=2>0f''(x) = 2 > 0, deci parabola este concavă în sus și c=3c = 3 este un punct de minim global. Alternativ: vârful parabolei are abscisa xV=−b2a=−−62=3x_V = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2} = 3.
Cheia: f′(c)=0f'(c) = 0 la orice extrem al unei funcții derivabile. Varianta c=−3c = -3 apare din neglijarea semnului lui b=−6b = -6 în formula vârfului. Varianta c=0c = 0 provine din f′(0)=−6≠0f'(0) = -6 \ne 0, o verificare neglijentă. Varianta c=5c = 5 este valoarea f(0)=5f(0) = 5, confundată cu abscisa minimului.

Problema 2 · Seria Maclaurin — coeficienți

În seria Maclaurin ex=∑n=0∞xnn!e^{x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!}, coeficientul lui x4x^{4} este:
  1. 14\dfrac{1}{4}
  2. 18\dfrac{1}{8}
  3. 124\dfrac{1}{24}
  4. 1120\dfrac{1}{120}

Soluție

Seria Maclaurin a lui exe^x este ∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \cdots Coeficientul lui x4x^4 este 14!=124\dfrac{1}{4!} = \dfrac{1}{24}. Varianta 14\dfrac{1}{4} apare din 1n\dfrac{1}{n} în loc de 1n!\dfrac{1}{n!}. Varianta 18\dfrac{1}{8} provine dintr-o confuzie cu seria geometrică (23=82^3 = 8). Varianta 1120=15!\dfrac{1}{120} = \dfrac{1}{5!} vine dintr-o decalare cu un grad.
Cheia: coeficientul lui xnx^n în seria Maclaurin a lui exe^x este 1n!\dfrac{1}{n!}, nu 1n\dfrac{1}{n}. Factorial crește mult mai rapid: 4!=244! = 24, 5!=1205! = 120. Seria apare în probabilitate (distribuția Poisson), analiză complexă și calculul numeric.

Problema 3 · Funcția radical — funcție inversă

Inversa funcției f:[1;+∞)→[0;+∞)f:[1;+\infty)\to[0;+\infty), f(x)=x−1f(x)=\sqrt{x - 1} este:
  1. f−1(x)=x2+1f^{-1}(x) = x^{2} + 1
  2. f−1(x)=x2−1f^{-1}(x) = x^{2} - 1
  3. f−1(x)=−x2+1f^{-1}(x) = -x^{2} + 1
  4. f−1(x)=−x2−1f^{-1}(x) = -x^{2} - 1

Soluție

Fie y=x−1y = \sqrt{x - 1}, cu y≥0y \ge 0. Exprimăm xx în funcție de yy: y2=x−1  ⟹  x=y2+1.y^{2} = x - 1 \implies x = y^{2} + 1. Schimbând x↔yx \leftrightarrow y (convenția inversă), obținem: f−1(x)=x2+1,x∈[0;+∞).f^{-1}(x) = x^{2} + 1, \quad x \in [0; +\infty). Varianta x2−1x^2 - 1 apare din greșeala de semn x=y2−1x = y^2 - 1. Variantele −x2+1-x^2 + 1 și −x2−1-x^2 - 1 introduc greșit semnul negativ al pătratului.
Cheia: inversa se găsește scriind y=f(x)y = f(x), exprimând xx din yy, apoi inversând notațiile. Greșeala tipică la funcțiile radical este semnul termenului liber. Domeniul inversei este imaginea lui ff, adică [0;+∞)[0; +\infty).
1 / 3
EasyTeorema lui Fermat — punct de extrem
Prin Teorema lui Fermat pentru extremele interioare, dacă atinge minimul pe în , atunci este egal cu: