Daily Math · 2026-05-05 - trei probleme despre Combinatorică, Dobândă compusă, Funcții exponențiale

Un rând de avion are 3 locuri: fereastră, mijloc, culoar. Trebuie să așezați 3 persoane: Alice preferă fereastra, Bob preferă culoarul, Carol nu are preferință. În câte din cele $3! = 6$ aranjamente posibile toată lumea este mulțumită (adică nici Alice, nici Bob nu ajunge la un loc diferit de cel preferat)?

Alice trebuie să ocupe locul de la fereastră (1 mod). Bob trebuie să ocupe locul de la culoar (1 mod). Carol ocupă mijlocul (1 mod). Doar $1 \times 1 \times 1 = 1$ aranjament satisface ambele preferințe. Mai general — când preferința fiecărei persoane este pentru un loc distinct, doar permutarea care corespunde exact preferințelor este „complet fericită”.

O versiune simplificată a unei probleme reale din software-ul companiilor aeriene: atribuirea locurilor pentru a optimiza preferințele declarate. Cu mai multe locuri și mai mulți pasageri devine o problemă clasică de potrivire bipartită.

Câți ani durează ca o investiție să se dubleze la o dobândă anuală de 7%, compusă anual? (Folosiți răspunsul cel mai apropiat.)

Avem nevoie de $t$ astfel încât $(1.07)^t = 2$, adică $t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1.07} \approx \dfrac{0.693}{0.0677} \approx 10.24$ ani. Scurtătura bancherului: Regula lui 72 — împărțiți 72 la rata dobânzii. $72 / 7 \approx 10.3$. Rapidă, suficient de exactă.

Regula lui 72 este una dintre cele mai utile formule din matematica financiară pe care le puteți memoriza. Este un logaritm deghizat — $\ln 2 \approx 0.693$, iar împărțirea la un $r$ mic se comportă suficient de aproape de împărțirea la $\ln(1+r) \approx r$ când $r$ este mic.

Rezolvați pentru $x$: $\quad 2^{x+1} = 3^{x}$.

Luăm $\ln$ din ambii membri: $(x+1) \ln 2 = x \ln 3$. Dezvoltăm: $x \ln 2 + \ln 2 = x \ln 3$. Colectăm $x$: $\ln 2 = x(\ln 3 - \ln 2)$. Deci $x = \dfrac{\ln 2}{\ln 3 - \ln 2} \approx \dfrac{0.693}{0.405} \approx 1.71$.

Ori de câte ori necunoscuta se află în două baze exponențiale diferite, luați $\ln$ din ambii membri și transformați în o ecuație liniară în $x$. Răspunsul este dimensional un logaritm, dar este un număr real — aproximativ 1,71 în acest caz.