Daily Math · 2026-05-06 - trei probleme despre Probabilitate, Geometrie, Teoria numerelor

Într-o cameră cu 23 de persoane, care este probabilitatea aproximativă că cel puțin două au ziua de naștere în aceeași zi? (Presupuneți 365 de zile la fel de probabile, fără gemeni.)

Calculăm complementul — probabilitatea ca toate cele 23 de zile de naștere să fie distincte: $$P(\text{toate distincte}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdots \frac{343}{365} \approx 0.493$$ Deci $P(\text{cel puțin o potrivire}) = 1 - 0.493 \approx 0.507$, puțin peste 50\%.

„Paradoxul zilelor de naștere” nu este un paradox — este un rezultat de numărare care violează intuiția. Cu 23 de persoane există $\binom{23}{2} = 253$ perechi, iar fiecare pereche are probabilitate $1/365$ de a se potrivi. Perechile cresc pătratic; persoanele cresc liniar.

Un pătrat este înscris într-un cerc de rază $r$. Care este aria pătratului în funcție de $r$?

Diagonala pătratului înscris este egală cu diametrul cercului, $2r$. Pentru un pătrat cu diagonala $d$, latura este $d/\sqrt{2}$, deci aria este $(d/\sqrt{2})^2 = d^2 / 2$. Aici $d = 2r$, deci aria $= (2r)^2 / 2 = 4r^2 / 2 = 2r^2$.

O problemă de două linii dacă vă amintiți că diagonala unui pătrat este $\sqrt{2}$ ori latura sa. Trucul este să recunoașteți că diagonala pătratului înscris este diametrul cercului — ceea ce este adevărat tocmai pentru că toate cele patru vârfuri se află pe cerc.

Care este restul împărțirii lui $7^{100}$ la $5$?

Lucrăm modulo 5. Observăm că $7 \equiv 2 \pmod 5$, deci $7^{100} \equiv 2^{100} \pmod 5$. Acum privim puterile lui 2 modulo 5: $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8 \equiv 3$, $2^4 = 16 \equiv 1$. Ciclul are lungimea 4. Deoarece $100 = 4 \cdot 25$, $2^{100} = (2^4)^{25} \equiv 1^{25} = 1 \pmod 5$.

Aritmetica modulară transformă „calculați un număr de 100 de cifre, apoi împărțiți” în „găsiți un ciclu mic, apoi indexați în el”. Exact astfel funcționează criptografia de tip RSA cu exponenți enormi — găsiți indicatorul lui Euler, reduceți modulo el, gata.