Daily Math · 2026-05-08 - trei probleme despre Geometrie, Dobândă compusă, Algebră

Un triunghi dreptunghic are catetele de lungime 3 și 4. Care este raza cercului înscris?

Pentru orice triunghi, raza cercului înscris este $r = A / s$, unde $A$ este aria și $s$ este semiperimetrul. Ipotenuza: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Aria: $\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$. Semiperimetrul: $(3 + 4 + 5)/2 = 6$. $r = 6 / 6 = 1$. Pentru triunghiurile dreptunghice există și o formulă simplificată: $r = (a + b - c)/2 = (3 + 4 - 5)/2 = 1$.

Două formule, același răspuns. Formula generală $r = A/s$ funcționează pentru orice triunghi; formula simplificată pentru triunghi dreptunghic $r = (a+b-c)/2$ este mai rapidă când se poate aplica. Triunghiul 3-4-5 este suficient de special încât să vă așteptați la un număr întreg.

Datorați \10{,}000$la un împrumut cu dobândă anuală de$6\%$, compusă anual. Plătiți$\$2{,}000$ la sfârșitul fiecărui an. După câți ani este împrumutul integral achitat (rotunjit în sus)?

Fie $B_n$ soldul după a $n$-a plată. $B_0 = 10000$, și $B_n = 1.06 \cdot B_{n-1} - 2000$. $B_1 = 10600 - 2000 = 8600$ $B_2 = 9116 - 2000 = 7116$ $B_3 = 7542.96 - 2000 = 5542.96$ $B_4 = 5875.54 - 2000 = 3875.54$ $B_5 = 4108.07 - 2000 = 2108.07$ $B_6 = 2234.55 - 2000 = 234.55$ După anul 6 mai rămân doar \234.55, deci o a 6-a plată de \234.55 îl lichidează. Total: 6 ani (ultima plată este mică).

Recurența $B_n = (1+r) B_{n-1} - P$ stă la baza oricărui plan de amortizare. Există o formulă închisă folosind aritmetica seriei geometrice, dar pentru întrebări punctuale, parcurgerea an cu an este mai rapidă decât derivarea formulei.

Simplificați: $\quad \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$ pentru $x \ne 3$.

Factorizăm numărătorul și numitorul: $$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}$$ Simplificăm un factor $(x - 3)$ (valid deoarece $x \ne 3$): $$= \frac{x + 3}{x - 3}$$

Diferența de pătrate la numărător, trinomul pătrat perfect la numitor. Două recunoașteri de tipar, apoi o simplificare. Excluderea $x \ne 3$ contează deoarece expresia originală este nedefinită acolo, chiar dacă cea simplificată aproape că este.