Daily Math · 2026-05-10 - trei probleme despre Combinatorică, Dobândă compusă, Logaritmi

O cabină de avion are 100 de locuri: 20 fereastră, 30 culoar, 50 mijloc. Din cei 100 de pasageri, 20 vor neapărat fereastră, 30 vor neapărat culoar, iar 50 nu au preferință. Câte atribuiri de locuri mulțumesc toate preferințele? (Considerați pasagerii ca distinctibili; numărați doar atribuirile.)

Fiecare grup cu preferință trebuie să ocupe tipul său de loc. În interiorul fiecărui grup, pasagerii sunt distinctibili, deci pot fi permutați liber: - Cei 20 care vor fereastră în cele 20 de locuri fereastră: $20!$ moduri - Cei 30 care vor culoar în cele 30 de locuri culoar: $30!$ moduri - Cei 50 fără preferință în cele 50 de locuri mijloc: $50!$ moduri Grupurile sunt independente, deci înmulțim: $20! \cdot 30! \cdot 50!$.

Varianta cotidiană a unei probleme de atribuire. Cu preferințe mai nuanțate (Carol vrea fereastră SAU mijloc, dar nu culoar) aceasta devine o problemă de potrivire bipartită / algoritmul ungar. Companiile aeriene rezolvă cu adevărat acest tip de problemă — cu date de preferințe mult mai dezordonate.

O mașină pierde $15\%$ din valoare în fiecare an. După $4$ ani, ce fracțiune din valoarea originală rămâne?

În fiecare an, valoarea se înmulțește cu $0.85$. După 4 ani: $(0.85)^4 \approx 0.522$. Notă: nu $1 - 4 \cdot 0.15 = 0.40$. Capitalizarea reduce pierderea; nu pierdeți $60\%$, pierdeți $\approx 48\%$.

Capitalizarea funcționează în ambele direcții. Câștigurile compuse cresc mai repede decât liniar; pierderile compuse scad mai repede decât liniar. Aceeași matematică ca problema cu cardul de credit din 7 mai — doar cu $r$ înlocuit de $-r$.

Scara Richter este logaritmică: un cutremur de magnitudine $M$ eliberează aproximativ $10^{1.5 M}$ unități de energie. De câte ori mai multă energie eliberează un cutremur de magnitudine 8 față de unul de magnitudine 6?

Raportul energiilor: $\dfrac{10^{1.5 \cdot 8}}{10^{1.5 \cdot 6}} = 10^{1.5 \cdot 2} = 10^3 = 1000$. O diferență de 2 pe o scară logaritmică în baza 10 (cu factorul exponențial $1.5\times$) corespunde unui salt de $10^3 = 1000\times$ în energia reală.

De aceea știrile despre cutremure par atât de înșelătoare. Un „cutremur de magnitudine 8” nu este cu $33\%$ mai mare decât unul „de magnitudine 6” — eliberează de o mie de ori mai multă energie. Scările logaritmice comprimă intervale uriașe în numere mici, ceea ce este excelent pentru grafice și dezastruos pentru intuiție.