pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Un set de probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, de la clasa a 5-a până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână, fără reclame.

Ești profesor?
Înapoi la articole

Probleme · 2026-05-11

Daily Math · 2026-05-11 - trei probleme despre Progresii aritmetice, Logaritmi, Derivate (regula produsului)

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problemele zilei
pbmate 11 mai 2026

Problema 1 · Progresii aritmetice

Fie un șir aritmetic cu primul termen a1=7a_1 = 7 și rația r=4r = 4. Calculați suma primilor 88 termeni, S8S_8.
  1. 168168
  2. 200200
  3. 207207
  4. 3535

Soluție

Folosim formula sumei primilor nn termeni ai unui șir aritmetic: Sn=n2(2a1+(n−1)r).S_n = \dfrac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr). Pentru n=8n=8, a1=7a_1=7, r=4r=4: S8=82(2⋅7+7⋅4)=4(14+28)=4⋅42=168.S_8 = \dfrac{8}{2}\bigl(2 \cdot 7 + 7 \cdot 4\bigr) = 4\bigl(14 + 28\bigr) = 4 \cdot 42 = 168.
Greșeala clasică: a înlocui (n−1)(n-1) cu nn în formulă, obținând S8=4(14+32)=4⋅50=200S_8 = 4(14+32)=4\cdot50=200. O altă capcană: a calcula a8=7+7⋅4=35a_8 = 7+7\cdot4=35 (termenul general) și a-l confunda cu suma. Verificare rapidă: Sn=n2(a1+an)=4(7+35)=168S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)=4(7+35)=168.

Problema 2 · Logaritmi

Determinați x∈Rx \in \mathbb{R} care satisface ecuația log⁡3x+log⁡3(x−6)=3\log_3 x + \log_3(x-6) = 3, x>6x > 6.
  1. x=3x = 3
  2. x=6x = 6
  3. x=9x = 9
  4. x=−3x = -3

Soluție

Aplicăm proprietatea log⁡3A+log⁡3B=log⁡3(AB)\log_3 A + \log_3 B = \log_3(AB): log⁡3[x(x−6)]=3  ⟹  x(x−6)=33=27.\log_3\bigl[x(x-6)\bigr] = 3 \implies x(x-6) = 3^3 = 27. Rezolvăm ecuația pătratică: x2−6x−27=0  ⟹  (x−9)(x+3)=0,x^2 - 6x - 27 = 0 \implies (x-9)(x+3) = 0, deci x=9x = 9 sau x=−3x = -3. Condiția de domeniu impune x>6x > 6 (pentru ca ambii logaritmi să fie definiți), deci x=−3x = -3 se elimină. Răspuns: x=9x = 9.
Două capcane într-o singură problemă: (1) uitarea domeniului de definiție — log⁡3(x−6)\log_3(x-6) cere x>6x>6, deci x=−3x=-3 e invalidă chiar dacă satisface ecuația pătratică; (2) confuzia 33=273^3=27 cu 33=93^3=9 (ridicare la putere vs. înmulțire cu 3).

Problema 3 · Derivate (regula produsului)

Fie f:(−1,+∞)→Rf: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(2x2−3)ln⁡(x+1)f(x) = (2x^2 - 3)\ln(x+1). Calculați f′(1)f'(1).
  1. 4ln⁡2+124\ln 2 + \dfrac{1}{2}
  2. 4ln⁡24\ln 2
  3. 2ln⁡2−122\ln 2 - \dfrac{1}{2}
  4. 4ln⁡2−124\ln 2 - \dfrac{1}{2}

Soluție

Aplicăm regula produsului: (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv', cu u=2x2−3,v=ln⁡(x+1).u = 2x^2 - 3,\quad v = \ln(x+1). u′=4x,v′=1x+1.u' = 4x, \quad v' = \dfrac{1}{x+1}. Deci: f′(x)=4x⋅ln⁡(x+1)+(2x2−3)⋅1x+1.f'(x) = 4x \cdot \ln(x+1) + (2x^2 - 3) \cdot \dfrac{1}{x+1}. Evaluăm în x=1x = 1: f′(1)=4⋅1⋅ln⁡2+(2⋅1−3)⋅12=4ln⁡2+(−1)⋅12=4ln⁡2−12.f'(1) = 4 \cdot 1 \cdot \ln 2 + (2 \cdot 1 - 3) \cdot \dfrac{1}{2} = 4\ln 2 + (-1) \cdot \dfrac{1}{2} = 4\ln 2 - \dfrac{1}{2}.
Trei capcane tipice: (1) calculul greșit al derivatei lui ln⁡(x+1)\ln(x+1) — unii scriu 1x\frac{1}{x} în loc de 1x+1\frac{1}{x+1}; (2) eroare de semn la al doilea termen, obținând +12+\frac{1}{2} în loc de −12-\frac{1}{2}; (3) derivarea lui 2x2−32x^2-3 cu coeficientul greșit (2x2x în loc de 4x4x), ducând la 2ln⁡2−122\ln 2 - \frac{1}{2}.
1 / 3
EasyProgresii aritmetice
Fie un șir aritmetic cu primul termen și rația . Calculați suma primilor termeni, .