pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Înapoi la articole

Probleme · 2026-05-11

Daily Math · 2026-05-11 - trei probleme despre Progresii aritmetice, Logaritmi, Derivate (regula produsului)

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problema 1 · Progresii aritmetice

Fie un șir aritmetic cu primul termen a1=7a_1 = 7 și rația r=4r = 4. Calculați suma primilor 88 termeni, S8S_8.
  1. 168168
  2. 200200
  3. 207207
  4. 3535

Soluție

Folosim formula sumei primilor nn termeni ai unui șir aritmetic: Sn=n2(2a1+(n−1)r).S_n = \dfrac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr). Pentru n=8n=8, a1=7a_1=7, r=4r=4: S8=82(2⋅7+7⋅4)=4(14+28)=4⋅42=168.S_8 = \dfrac{8}{2}\bigl(2 \cdot 7 + 7 \cdot 4\bigr) = 4\bigl(14 + 28\bigr) = 4 \cdot 42 = 168.
Greșeala clasică: a înlocui (n−1)(n-1) cu nn în formulă, obținând S8=4(14+32)=4⋅50=200S_8 = 4(14+32)=4\cdot50=200. O altă capcană: a calcula a8=7+7⋅4=35a_8 = 7+7\cdot4=35 (termenul general) și a-l confunda cu suma. Verificare rapidă: Sn=n2(a1+an)=4(7+35)=168S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)=4(7+35)=168.

Problema 2 · Logaritmi

Determinați x∈Rx \in \mathbb{R} care satisface ecuația log⁡3x+log⁡3(x−6)=3\log_3 x + \log_3(x-6) = 3, x>6x > 6.
  1. x=3x = 3
  2. x=6x = 6
  3. x=9x = 9
  4. x=−3x = -3

Soluție

Aplicăm proprietatea log⁡3A+log⁡3B=log⁡3(AB)\log_3 A + \log_3 B = \log_3(AB): log⁡3[x(x−6)]=3  ⟹  x(x−6)=33=27.\log_3\bigl[x(x-6)\bigr] = 3 \implies x(x-6) = 3^3 = 27. Rezolvăm ecuația pătratică: x2−6x−27=0  ⟹  (x−9)(x+3)=0,x^2 - 6x - 27 = 0 \implies (x-9)(x+3) = 0, deci x=9x = 9 sau x=−3x = -3. Condiția de domeniu impune x>6x > 6 (pentru ca ambii logaritmi să fie definiți), deci x=−3x = -3 se elimină. Răspuns: x=9x = 9.
Două capcane într-o singură problemă: (1) uitarea domeniului de definiție — log⁡3(x−6)\log_3(x-6) cere x>6x>6, deci x=−3x=-3 e invalidă chiar dacă satisface ecuația pătratică; (2) confuzia 33=273^3=27 cu 33=93^3=9 (ridicare la putere vs. înmulțire cu 3).

Problema 3 · Derivate (regula produsului)

Fie f:(−1,+∞)→Rf: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(2x2−3)ln⁡(x+1)f(x) = (2x^2 - 3)\ln(x+1). Calculați f′(1)f'(1).
  1. 4ln⁡2+124\ln 2 + \dfrac{1}{2}
  2. 4ln⁡24\ln 2
  3. 2ln⁡2−122\ln 2 - \dfrac{1}{2}
  4. 4ln⁡2−124\ln 2 - \dfrac{1}{2}

Soluție

Aplicăm regula produsului: (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv', cu u=2x2−3,v=ln⁡(x+1).u = 2x^2 - 3,\quad v = \ln(x+1). u′=4x,v′=1x+1.u' = 4x, \quad v' = \dfrac{1}{x+1}. Deci: f′(x)=4x⋅ln⁡(x+1)+(2x2−3)⋅1x+1.f'(x) = 4x \cdot \ln(x+1) + (2x^2 - 3) \cdot \dfrac{1}{x+1}. Evaluăm în x=1x = 1: f′(1)=4⋅1⋅ln⁡2+(2⋅1−3)⋅12=4ln⁡2+(−1)⋅12=4ln⁡2−12.f'(1) = 4 \cdot 1 \cdot \ln 2 + (2 \cdot 1 - 3) \cdot \dfrac{1}{2} = 4\ln 2 + (-1) \cdot \dfrac{1}{2} = 4\ln 2 - \dfrac{1}{2}.
Trei capcane tipice: (1) calculul greșit al derivatei lui ln⁡(x+1)\ln(x+1) — unii scriu 1x\frac{1}{x} în loc de 1x+1\frac{1}{x+1}; (2) eroare de semn la al doilea termen, obținând +12+\frac{1}{2} în loc de −12-\frac{1}{2}; (3) derivarea lui 2x2−32x^2-3 cu coeficientul greșit (2x2x în loc de 4x4x), ducând la 2ln⁡2−122\ln 2 - \frac{1}{2}.
1 / 3
EasyProgresii aritmetice
Fie un șir aritmetic cu primul termen și rația . Calculați suma primilor termeni, .