Daily Math · 2026-05-12 - trei probleme despre Progresii geometrice, Numere complexe, Limite de șiruri

Fie șirul geometric $(b_n)_{n \geq 1}$ cu $b_1 = 2$ și rația $q = 3$. Suma primilor $5$ termeni ai șirului este:

Formula sumei este $S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$. Cu $b_1=2$, $q=3$, $n=5$: $$S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242.$$ Deci $S_5 = 242$.

Capcana frecventă este confuzia $3^5 = 243$ vs. $q^n - 1 = 242$, sau uitarea împărțirii la $q-1 = 2$. Varianta $486 = 2 \cdot 243$ vine din omiterea scăderii lui $1$ înainte de împărțire. Varianta $240$ apare prin greșeala $3^5 = 240$.

Fie $z = 2 - i$, unde $i^2 = -1$. Valoarea expresiei $|z|^2 + \mathrm{Im}(z^2)$ este:

Pasul 1. $|z|^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$. Pasul 2. $z^2 = (2-i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$, deci $\mathrm{Im}(z^2) = -4$. Pasul 3. $|z|^2 + \mathrm{Im}(z^2) = 5 + (-4) = 1$.

Greșeala tipică: confuzia $|z|^2 = 5$ cu $|z| = \sqrt{5}$ (varianta $9$ vine din $\sqrt{5}^2 + 4$ interpretat greșit). Varianta $5$ ignoră termenul $\mathrm{Im}(z^2)$, iar $-3$ apare din $|z| - 4 \approx 2.24 - 4$ rotunjit fără rigurozitate.

Calculați limita: $$\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 6n} - n\right).$$

Amplificăm cu conjugata: $$\sqrt{n^2+6n} - n = \frac{(\sqrt{n^2+6n}-n)(\sqrt{n^2+6n}+n)}{\sqrt{n^2+6n}+n} = \frac{n^2+6n - n^2}{\sqrt{n^2+6n}+n} = \frac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}.$$ Împărțim numărătorul și numitorul prin $n > 0$: $$= \frac{6}{\sqrt{1 + \tfrac{6}{n}} + 1} \xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{6}{\sqrt{1}+1} = \frac{6}{2} = 3.$$

Capcana clasică: fără raționalizare, expresia pare să tindă la $\infty - \infty$, iar elevii aleg $0$ ("termenii se anulează") sau $6$ ("coeficientul lui $n$"). Varianta $\sqrt{6}$ confundă limita cu $\sqrt{\text{coef.}}$. Cheia este amplificarea cu conjugata și scoaterea lui $n$ de sub radical.