Daily Math · 2026-05-13 - trei probleme despre Combinatorică (aranjamente și combinări), Ecuații de gradul al II-lea (relațiile lui Viète), Monotonie și puncte de extrem

Un antrenor trebuie să aleagă $3$ atleți dintr-un lot de $10$ pentru a ocupa pozițiile $1$, $2$ și $3$ într-o ștafetă (ordinea contează). Câte variante de selecție există?

Deoarece ordinea pozițiilor contează, folosim aranjamente: $$A_{10}^{3} = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720.$$ Varianta $120 = C_{10}^{3}$ ignoră ordinea (eroare frecventă când problema spune explicit că pozițiile sunt distincte). Varianta $90 = A_{10}^{2}$ selectează doar $2$ atleți. Varianta $1000 = 10^3$ ar fi corectă doar dacă același atlet ar putea alerga pe mai multe poziții.

Capcana clasică aranjamente vs. combinări: de câte ori citim «pozițiile sunt distincte» sau «ordinea contează», formula este $A_n^k$, nu $C_n^k$. Greșeala tipică (răspuns $120$) apare când elevul vede «$3$ din $10$» și aplică automat combinările, fără să proceseze că rolurile diferă.

Fie $x_1, x_2$ rădăcinile ecuației $3x^2 - 7x + 2 = 0$. Calculați $x_1^2 + x_2^2$.

Din relațiile lui Viète: $x_1 + x_2 = \dfrac{7}{3}$ și $x_1 x_2 = \dfrac{2}{3}$. Folosim identitatea: $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = \left(\frac{7}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{49}{9} - \frac{4}{3} = \frac{49}{9} - \frac{12}{9} = \frac{37}{9}.$$ Verificare: rădăcinile sunt $x_1 = 2$ și $x_2 = \tfrac{1}{3}$, deci $x_1^2 + x_2^2 = 4 + \tfrac{1}{9} = \tfrac{37}{9}$. ✓

Problema testează identitatea $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$, nu calculul direct al rădăcinilor. Opțiunea $\frac{49}{9}$ provine din uitarea termenului $-2x_1x_2$; opțiunea $\frac{43}{9}$ din scăderea $x_1x_2$ în loc de $2x_1x_2$; opțiunea $\frac{61}{9}$ dintr-o adunare în loc de scădere — toate erori de algebră elementară pe o schemă corect aleasă.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1$. Care este valoarea maximului local al funcției $f$?

Calculăm derivata: $f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2) = 6(x+2)(x-1)$. Punctele critice: $x = -2$ și $x = 1$. Studiul semnului lui $f'$: - $f'(x) > 0$ pe $(-\infty, -2)$ — $f$ crescătoare, - $f'(x) < 0$ pe $(-2, 1)$ — $f$ descrescătoare, - $f'(x) > 0$ pe $(1, +\infty)$ — $f$ crescătoare. Deci $x = -2$ este punct de maxim local și $x = 1$ este punct de minim local. Maximul local: $f(-2) = 2(-8) + 3(4) - 12(-2) + 1 = -16 + 12 + 24 + 1 = 21$.

Cele trei capcane: $-6 = f(1)$ (elevul confundă maximul cu minimul sau inversează tabelul de semn); $20$ (calcul corect al lui $f(-2)$ dar uitat termenul liber $+1$); $53$ (eroare de semn: $2(-2)^3$ tratat ca $+16$ în loc de $-16$). Tabelul de semn al derivatei este esențial — nu e suficient să găsești punctele critice, trebuie stabilit tipul fiecăruia.