Daily Math · 2026-05-14 - trei probleme despre Logaritmi, Funcții exponențiale, Numere complexe

Determinați soluția reală a ecuației $\log_3 x + \log_3 (x-2) = 1$.

Condiții de existență: argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive, deci $x > 0$ și $x - 2 > 0$, adică $x > 2$. Folosind regula produsului: $\log_3\bigl(x(x-2)\bigr) = 1$, deci $x(x-2) = 3^1 = 3$. Obținem $x^2 - 2x - 3 = 0$, adică $(x-3)(x+1) = 0$, cu rădăcinile $x = 3$ și $x = -1$. Valoarea $x = -1$ nu respectă condiția $x > 2$, deci se respinge. Singura soluție este $x = 3$. Verificare: $\log_3 3 + \log_3 1 = 1 + 0 = 1$. ✓

Capcana clasică a ecuațiilor logaritmice: ecuația algebrică derivată are două rădăcini, dar domeniul de definiție le filtrează. Cine sare peste condiția $x>2$ acceptă greșit $x=-1$ (unde $\log_3(-1)$ nici nu există) sau bifează ambele rădăcini. Stabilirea domeniului ÎNAINTE de rezolvare nu este formalitate — este pasul care decide răspunsul corect.

Determinați suma soluțiilor reale ale ecuației $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$.

Observăm că $9^{x} = (3^2)^x = (3^x)^2$. Notăm $t = 3^x$, cu $t > 0$. Ecuația devine $t^2 - 4t + 3 = 0$, adică $(t-1)(t-3) = 0$, deci $t = 1$ sau $t = 3$ (ambele pozitive, deci acceptabile). Revenim la $x$: - $3^x = 1 \Rightarrow x = 0$; - $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$. Suma soluțiilor este $0 + 1 = 1$.

Substituția $t=3^x$ transformă o ecuație exponențială într-una de gradul al doilea — tehnica standard pentru ecuații reductibile la pătratice. Atenție: $t=1$ și $t=3$ sunt valorile lui $3^x$, NU valorile lui $x$. Distractorii $3$ (produsul valorilor lui $t$) și $4$ (suma valorilor lui $t$, prin Viète pe ecuația auxiliară) prind exact pe cine uită să revină de la $t$ la $x$.

Calculați modulul numărului complex $z = \dfrac{3 - 4i}{1 + i}$.

Modulul unui cât de numere complexe este câtul modulelor: $|z| = \dfrac{|3 - 4i|}{|1 + i|}$. Calculăm fiecare modul: $|3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$; $|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Deci $|z| = \dfrac{5}{\sqrt{2}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54$. Verificare directă: $z = \dfrac{(3-4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{3 - 3i - 4i + 4i^2}{2} = \dfrac{-1 - 7i}{2}$, deci $|z| = \dfrac{\sqrt{1 + 49}}{2} = \dfrac{\sqrt{50}}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$. ✓

Proprietatea $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ evită complet raționalizarea fracției — câteva secunde față de un minut. Distractorul $5$ ignoră numitorul; $\sqrt{5}$ confundă modulul cu o sumă neridicată la pătrat. Calculul explicit prin amplificare cu conjugatul confirmă același rezultat, arătând că ambele drumuri converg.