Calculați valoarea expresiei E = (sin(120°)·tan(135°))/(cos(240°)).

Valorile exacte: sin(120°)=(√(3))/(2), tan(135°)=-1, cos(240°)=cos(180°+60°)=-cos(60°)=-(1)/(2). Înlocuind: E = ((√(3))/(2)·(-1))/(-(1)/(2)) = (-(√(3))/(2))/(-(1)/(2)) = (√(3))/(2)· 2 = √(3).

Calculați limita lim_x → 0 frace^3x-1-3xx^2.

Aplicăm de două ori regula lui L'Hôpital (forma (0)/(0)). Prima derivare: lim_x→ 0dfrac3e^3x-32x, tot (0)/(0). A doua derivare: lim_x→ 0dfrac9e^3x2=(9)/(2). Alternativ, prin dezvoltare Taylor: e^3x=1+3x+(9x^2)/(2)+O(x^3), deci e^3x-1-3x~(9x^2)/(2), iar limita este (9)/(2).

Daily Math · 2026-05-15 - Trigonometrie (valori și identități), Binomul lui Newton, Limite de funcții

Înapoi la articole

Probleme · 2026-05-15

Problema 1 · Trigonometrie (valori și identități)

Calculați valoarea expresiei

E = \dfrac{\sin(120°)\cdot\tan(135°)}{\cos(240°)}

$-\sqrt{3}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{1}{2}$
$\sqrt{3}$

Soluție

Valorile exacte:

\sin(120°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\tan(135°)=-1

\cos(240°)=\cos(180°+60°)=-\cos(60°)=-\dfrac{1}{2}

. Înlocuind:

E = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-1)}{-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2 = \sqrt{3}

Capcanele frecvente: semn greșit la

\tan(135°)

(unii iau

+1

) și semn greșit la

\cos(240°)

(uitat că e în cadranul III). Cele două minus se anulează, dând un rezultat pozitiv. Verifică întotdeauna cadranul înainte de a citi valoarea.

Problema 2 · Binomul lui Newton

Determinați coeficientul lui

x^4

în dezvoltarea binomului

(2x-3)^7

$15120$
$-5040$
$-15120$
$20160$

Soluție

Termenul general din

(2x-3)^7

este

T_{k+1}=\binom{7}{k}(2x)^{7-k}(-3)^k

. Pentru

x^4

avem

7-k=4

, deci

k=3

. Astfel

T_4=\binom{7}{3}\cdot(2x)^4\cdot(-3)^3=35\cdot 16x^4\cdot(-27)=35\cdot(-432)x^4=-15120\,x^4

. Coeficientul căutat este

-15120

Greșeala tipică este uitarea semnului negativ din

(-3)^3=-27

sau confundarea indicelui

k

7-k

. Calculul

\binom{7}{3}=35

2^4=16

3^3=27

trebuie făcut fără scurtături. Semnul final al coeficientului depinde de paritatea lui

k

Problema 3 · Limite de funcții

Calculați limita

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1-3x}{x^2}

$0$
$3$
$9$
$\dfrac{9}{2}$

Soluție

Aplicăm de două ori regula lui L'Hôpital (forma

\tfrac{0}{0}

). Prima derivare:

\lim_{x\to 0}\dfrac{3e^{3x}-3}{2x}

, tot

\tfrac{0}{0}

. A doua derivare:

\lim_{x\to 0}\dfrac{9e^{3x}}{2}=\dfrac{9}{2}

. Alternativ, prin dezvoltare Taylor:

e^{3x}=1+3x+\dfrac{9x^2}{2}+O(x^3)

, deci

e^{3x}-1-3x\sim\dfrac{9x^2}{2}

, iar limita este

\dfrac{9}{2}

Distragătorii reflectă erori clasice:

0

(limita greșit evaluată direct),

3

(derivată parțială),

9

(uitat împărțitorul

2

din Taylor). Forma

\frac{0}{0}

necesită două aplicări ale regulii L'Hôpital; o singură aplicare lasă tot o formă indeterminată.

1 / 3

EasyTrigonometrie (valori și identități)

Calculați valoarea expresiei .