pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Înapoi la articole

Probleme · 2026-05-16

Daily Math · 2026-05-16 - trei probleme despre Numere reale și module, Matrice, Continuitate

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problema 1 · Numere reale și module

Câte numere întregi xx satisfac inegalitatea ∣2x−3∣≤7|2x - 3| \leq 7?
  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 9

Soluție

Din ∣2x−3∣≤7|2x-3| \leq 7 obținem −7≤2x−3≤7-7 \leq 2x-3 \leq 7, deci −4≤2x≤10-4 \leq 2x \leq 10, adică −2≤x≤5-2 \leq x \leq 5. Numerele întregi din intervalul [−2, 5][-2,\,5] sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5 — în total 8 valori.
Capcanele clasice: să uiți că ambele capete −2-2 și 55 sunt incluse (inegalitate nestrict㺠≤\leq), sau să numeri greșit șirul. Verificarea rapidă: lungimea intervalului 5−(−2)=75-(-2)=7, deci 7+1=87+1=8 întregi.

Problema 2 · Matrice

Fie matricea A=(2113)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}. Calculați det⁡(A2−2A)\det(A^2 - 2A).
  1. 25
  2. 5
  3. -5
  4. 15

Soluție

Calculăm A2=(2113)⋅(2113)=(55510)A^2 = \begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&5\\5&10\end{pmatrix} și 2A=(4226)2A = \begin{pmatrix}4&2\\2&6\end{pmatrix}. Atunci A2−2A=(1334)A^2 - 2A = \begin{pmatrix}1&3\\3&4\end{pmatrix}, deci det⁡(A2−2A)=1⋅4−3⋅3=4−9=−5\det(A^2-2A) = 1\cdot 4 - 3\cdot 3 = 4-9 = -5.
Greșeala frecventă este a aplica direct det⁡(A2−2A)=det⁡(A)2−2det⁡(A)=25−10=15\det(A^2-2A)=\det(A)^2 - 2\det(A)=25-10=15, ceea ce este incorect — determinantul nu se distribuie față de scăderea matricelor. Trebuie calculată explicit matricea A2−2AA^2-2A, abia apoi determinantul ei.

Problema 3 · Continuitate

Fie funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={sin⁡(3x)x,x≠0a+1,x=0f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin(3x)}{x}, & x\neq 0\\[6pt] a+1, & x=0\end{cases}. Pentru ce valoare a lui a∈Ra\in\mathbb{R} funcția ff este continuă în x=0x=0?
  1. a=0a=0
  2. a=1a=1
  3. a=2a=2
  4. a=3a=3

Soluție

Condiția de continuitate în x=0x=0 este lim⁡x→0f(x)=f(0)\lim_{x\to 0}f(x)=f(0). Calculăm lim⁡x→0sin⁡(3x)x=lim⁡x→0sin⁡(3x)3x⋅3=1⋅3=3\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(3x)}{3x}\cdot 3 = 1\cdot 3 = 3. Deci a+1=3a+1=3, de unde a=2a=2.
Capcanele: (1) a confunda limita cu f(0)=a+1f(0)=a+1 și a scrie direct a=3a=3 uitând termenul +1+1; (2) a nu multiplica corect prin 33 în limita fondamentală lim⁡u→0sin⁡uu=1\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1 cu u=3xu=3x. Substituția u=3xu=3x clarifică imediat.
1 / 3
EasyNumere reale și module
Câte numere întregi satisfac inegalitatea ?