pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Un set de probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, de la clasa a 5-a până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână, fără reclame.

Ești profesor?
Înapoi la articole

Probleme · 2026-05-16

Daily Math · 2026-05-16 - trei probleme despre Numere reale și module, Matrice, Continuitate

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problemele zilei
pbmate 16 mai 2026

Problema 1 · Numere reale și module

Câte numere întregi xx satisfac inegalitatea ∣2x−3∣≤7|2x - 3| \leq 7?
  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 9

Soluție

Din ∣2x−3∣≤7|2x-3| \leq 7 obținem −7≤2x−3≤7-7 \leq 2x-3 \leq 7, deci −4≤2x≤10-4 \leq 2x \leq 10, adică −2≤x≤5-2 \leq x \leq 5. Numerele întregi din intervalul [−2, 5][-2,\,5] sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5 — în total 8 valori.
Capcanele clasice: să uiți că ambele capete −2-2 și 55 sunt incluse (inegalitate nestrict㺠≤\leq), sau să numeri greșit șirul. Verificarea rapidă: lungimea intervalului 5−(−2)=75-(-2)=7, deci 7+1=87+1=8 întregi.

Problema 2 · Matrice

Fie matricea A=(2113)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}. Calculați det⁡(A2−2A)\det(A^2 - 2A).
  1. 25
  2. 5
  3. -5
  4. 15

Soluție

Calculăm A2=(2113)⋅(2113)=(55510)A^2 = \begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&5\\5&10\end{pmatrix} și 2A=(4226)2A = \begin{pmatrix}4&2\\2&6\end{pmatrix}. Atunci A2−2A=(1334)A^2 - 2A = \begin{pmatrix}1&3\\3&4\end{pmatrix}, deci det⁡(A2−2A)=1⋅4−3⋅3=4−9=−5\det(A^2-2A) = 1\cdot 4 - 3\cdot 3 = 4-9 = -5.
Greșeala frecventă este a aplica direct det⁡(A2−2A)=det⁡(A)2−2det⁡(A)=25−10=15\det(A^2-2A)=\det(A)^2 - 2\det(A)=25-10=15, ceea ce este incorect — determinantul nu se distribuie față de scăderea matricelor. Trebuie calculată explicit matricea A2−2AA^2-2A, abia apoi determinantul ei.

Problema 3 · Continuitate

Fie funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={sin⁡(3x)x,x≠0a+1,x=0f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin(3x)}{x}, & x\neq 0\\[6pt] a+1, & x=0\end{cases}. Pentru ce valoare a lui a∈Ra\in\mathbb{R} funcția ff este continuă în x=0x=0?
  1. a=0a=0
  2. a=1a=1
  3. a=2a=2
  4. a=3a=3

Soluție

Condiția de continuitate în x=0x=0 este lim⁡x→0f(x)=f(0)\lim_{x\to 0}f(x)=f(0). Calculăm lim⁡x→0sin⁡(3x)x=lim⁡x→0sin⁡(3x)3x⋅3=1⋅3=3\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(3x)}{3x}\cdot 3 = 1\cdot 3 = 3. Deci a+1=3a+1=3, de unde a=2a=2.
Capcanele: (1) a confunda limita cu f(0)=a+1f(0)=a+1 și a scrie direct a=3a=3 uitând termenul +1+1; (2) a nu multiplica corect prin 33 în limita fondamentală lim⁡u→0sin⁡uu=1\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1 cu u=3xu=3x. Substituția u=3xu=3x clarifică imediat.
1 / 3
EasyNumere reale și module
Câte numere întregi satisfac inegalitatea ?