Daily Math · 2026-05-17 - trei probleme despre Logaritmi, Geometrie analitică (drepte), Ecuația tangentei la grafic

Determinați soluția ecuației $\log_4(x+5) + \log_4(x-1) = 2$.

Aplicăm proprietatea $\log_4(x+5) + \log_4(x-1) = \log_4[(x+5)(x-1)]$. Ecuația devine $\log_4[(x+5)(x-1)] = 2$, deci $(x+5)(x-1) = 4^2 = 16$. Extinzând: $x^2 + 4x - 5 = 16 \Rightarrow x^2 + 4x - 21 = 0$. Discriminantul: $\Delta = 16 + 84 = 100$, deci $x = \dfrac{-4 \pm 10}{2}$, adică $x = 3$ sau $x = -7$. Condiția de existență impune $x > 1$, deci $x = -7$ se respinge. Soluția este $\boxed{x = 3}$.

Capcana clasică: $x = -7$ satisface ecuația algebrică, dar nu domeniul logaritmilor (ambii factori trebuie pozitivi: $x > 1$). Elevii care uită să verifice domeniul aleg $x = -7$. $x = 7$ apare din confuzia $(x-7)(x+3)=0$, iar $x=4$ dintr-o eroare de calcul la discriminant.

Fie dreapta $d: 3x - 4y + 1 = 0$ și punctul $A(2, -3)$. Ecuația dreptei care trece prin $A$ și este perpendiculară pe $d$ este:

Panta dreptei $d$ este $m_1 = \dfrac{3}{4}$. Panta dreptei perpendiculare satisface $m_1 \cdot m_2 = -1$, deci $m_2 = -\dfrac{4}{3}$. Ecuația dreptei prin $A(2,-3)$ cu panta $-\dfrac{4}{3}$: $y - (-3) = -\dfrac{4}{3}(x - 2) \Rightarrow 3y + 9 = -4x + 8 \Rightarrow \boxed{4x + 3y + 1 = 0}$. Verificare: $4 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) + 1 = 8 - 9 + 1 = 0$. ✓

Două capcane distincte: varianta $4x - 3y - 17 = 0$ trece prin $A$ dar are panta $\frac{4}{3}$ (reciproca fără schimbare de semn), iar $3x - 4y - 18 = 0$ trece prin $A$ și este paralelă cu $d$ (aceeași pantă $\frac{3}{4}$). Varianta $4x+3y-5=0$ are panta corectă dar constanta greșită — eroare aritmetică la calculul termenului liber.

Fie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 + 2x - 5$. Ecuația tangentei la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $x_0 = 2$ este:

Calculăm $f(2) = 8 + 4 - 5 = 7$, deci tangenta atinge graficul în $T(2, 7)$. Derivata: $f'(x) = 3x^2 + 2$, deci panta tangentei este $f'(2) = 12 + 2 = 14$. Ecuația tangentei: $y - 7 = 14(x - 2) \Rightarrow y = 14x - 28 + 7 \Rightarrow \boxed{y = 14x - 21}$. Verificare: $14 \cdot 2 - 21 = 7 = f(2)$. ✓

Trei capcane distincte: $y = 14x + 7$ apare când elevul scrie $y = f'(x_0) \cdot x + f(x_0)$ în loc de formula punct-pantă; $y = 12x - 17$ apare din uitarea termenului $+2$ la derivare ($f'(x) = 3x^2$ eronat); $y = 7x - 7$ apare când se confundă panta cu valoarea funcției ($m = f(x_0) = 7$ în loc de $m = f'(x_0) = 14$).