Daily Math · 2026-05-23 - trei probleme despre Logaritmi, Numere complexe (formă trigonometrică), Monotonie și puncte de extrem

Calculați $\log_3 54 - \log_3 2$.

Folosind proprietatea logaritmului unui câtient: $$\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 \frac{54}{2} = \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3.$$

Capcana clasică este scăderea directă a argumentelor ($54 - 2 = 52$), ceea ce dă opțiunea greșită $\log_3 52$. Regula corectă este: scăderea logaritmilor înseamnă împărțirea argumentelor. $54/2 = 27 = 3^3$, deci rezultatul este imediat 3.

Fie $z = -\sqrt{6} + i\sqrt{2}$. Forma trigonometrică a lui $z$ este:

Modulul: $|z| = \sqrt{(-\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6+2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$ Argumentul: $\cos\theta = \dfrac{-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}.$ Deoarece $\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$, rezultă $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$ (cadranul II). Astfel $z = 2\sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right).$

Două capcane frecvente: (1) confuzia de cadran — $\cos^{-1}(\sqrt{3}/2) = \pi/6$, dar $z$ este în cadranul II, deci argumentul este $\pi - \pi/6 = 5\pi/6$; (2) calculul greșit al modulului, uitând că $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, nu 2. Opțiunea cu $2\pi/3$ provine din confuzia $\sin$ cu $\cos$ la identificarea unghiului.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$. Care este valoarea maximului local al funcției $f$?

Calculăm derivata: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3).$ $f'(x) > 0$ pentru $x < 1$ și $x > 3$ (funcția crește); $f'(x) < 0$ pentru $1 < x < 3$ (funcția scade). Deci $x = 1$ este punct de maxim local: $f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = \mathbf{6}.$ $x = 3$ este punct de minim local: $f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2.$

Capcana principală este confundarea maximului cu minimul: $f(3) = 2$ este minimul local, nu maximul. Opțiunea $x = 3$ (valoarea punctului, nu a funcției) testează dacă elevul știe că trebuie calculată $f(1)$, nu doar identificat $x_0$. Semnul lui $f'$ pe intervalele $(−\infty,1)$, $(1,3)$, $(3,+\infty)$ este esențial pentru clasificare.