pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Înapoi la articole

Probleme · 2026-05-24

Daily Math · 2026-05-24 - trei probleme despre Combinatorică (aranjamente și combinări), Geometrie analitică (distanțe), Continuitate

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problema 1 · Combinatorică (aranjamente și combinări)

Câte aranjamente de câte 2 litere se pot forma cu literele distincte ale cuvântului MARE?
  1. 66
  2. 1212
  3. 1616
  4. 2424

Soluție

Cuvântul MARE are n=4n = 4 litere distincte (M, A, R, E). Numărul aranjamentelor de câte k=2k = 2 elemente dintr-o mulțime de n=4n = 4 este: A42=4!(4−2)!=4!2!=242=12.A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12. Astfel, se pot forma 12\mathbf{12} aranjamente: MA, MR, ME, AM, AR, AE, RM, RA, RE, EM, EA, ER.
Greșeala clasică este să se confunde aranjamentele cu combinările: C42=6C_4^2 = 6 (varianta A) numără mulțimile de câte 2 litere, ignorând ordinea. Aranjamentele țin cont de ordine, deci MA ≠ AM. Varianta D (4!=244! = 24) înseamnă toate permutările de 4 litere — prea mult.

Problema 2 · Geometrie analitică (distanțe)

Fie dreapta d:4x−3y+1=0d: 4x - 3y + 1 = 0 și punctul M(3, −2)M(3,\, -2). Distanța de la MM la dreapta dd este:
  1. 75\dfrac{7}{5}
  2. 185\dfrac{18}{5}
  3. 195\dfrac{19}{5}
  4. 197\dfrac{19}{\sqrt{7}}

Soluție

Formula distanței de la punctul (x0,y0)(x_0, y_0) la dreapta ax+by+c=0ax + by + c = 0 este: d=∣ax0+by0+c∣a2+b2.d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. Cu a=4, b=−3, c=1, x0=3, y0=−2a=4,\, b=-3,\, c=1,\, x_0=3,\, y_0=-2: d=∣4⋅3+(−3)⋅(−2)+1∣42+(−3)2=∣12+6+1∣16+9=195.d = \frac{|4\cdot 3 + (-3)\cdot(-2) + 1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 6 + 1|}{\sqrt{16+9}} = \frac{19}{5}.
Cele două capcane frecvente: (A) 75\frac{7}{5} apare când se înlocuiește greșit y0=+2y_0 = +2 în loc de −2-2, dând 12−6+1=712-6+1=7; (B) 185\frac{18}{5} apare când se uită constanta +1+1. Numitorul este mereu a2+b2\sqrt{a^2+b^2}, nu ∣a∣+∣b∣\sqrt{|a|+|b|}.

Problema 3 · Continuitate

Fie funcția f(x)={x2−4x+3x−3,x≠3a,x=3f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x - 3}, & x \neq 3 \\ a, & x = 3 \end{cases} Determinați valoarea lui aa pentru care ff este continuă în x0=3x_0 = 3.
  1. a=−2a = -2
  2. a=2a = 2
  3. a=3a = 3
  4. a=−1a = -1

Soluție

Condiția de continuitate în x0=3x_0 = 3 este lim⁡x→3f(x)=f(3)=a\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = a. Factorizăm numărătorul: x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3). Deci pentru x≠3x \neq 3: f(x)=(x−1)(x−3)x−3=x−1.f(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{x-3} = x - 1. Asadar: lim⁡x→3f(x)=3−1=2.\lim_{x \to 3} f(x) = 3 - 1 = 2. Pentru continuitate trebuie a=2a = 2.
Cheia este factorizarea numărătorului — nu există limită imediată (forma 00\frac{0}{0}), dar după simplificarea cu (x−3)(x-3) forma nedeterminată dispare. Capcanele sunt a=3a = 3 (valoarea lui x0x_0 în loc de x0−1x_0-1) și a=−1a = -1 (calculând f(1)f(1) în loc de lim⁡x→3\lim_{x\to 3}).
1 / 3
EasyCombinatorică (aranjamente și combinări)
Câte aranjamente de câte 2 litere se pot forma cu literele distincte ale cuvântului MARE?