Fie x_1, x_2 rădăcinile ecuației 3x^2 - 7x + 2 = 0. Calculați (1)/(x_1) + (1)/(x_2).

Prin relațiile lui Viète: x_1 + x_2 = (7)/(3) și x_1 x_2 = (2)/(3). Suma inverselor se calculează: (1)/(x_1) + (1)/(x_2) = (x_1 + x_2)/(x_1 x_2) = ((7)/(3))/((2)/(3)) = (7)/(2). Răspuns corect: (7)/(2).

Calculați lim_x → 2 (x^3 - 8)/(x^2 - 4).

Substituția directă dă forma (0)/(0), deci factorizăm: (x^3 - 8)/(x^2 - 4) = ((x-2)(x^2+2x+4))/((x-2)(x+2)) = (x^2+2x+4)/(x+2), x ≠ 2. Luând x → 2: lim_x → 2 (x^2+2x+4)/(x+2) = (4+4+4)/(4) = (12)/(4) = 3. Răspuns corect: 3.

Daily Math · 2026-05-25 - Ecuații de gradul al II-lea (relațiile lui Viète), Binomul lui Newton, Limite de funcții

Înapoi la articole

Probleme · 2026-05-25

Problemele zilei

pbmate 25 mai 2026

Problema 1 · Ecuații de gradul al II-lea (relațiile lui Viète)

Fie

x_1, x_2

rădăcinile ecuației

3x^2 - 7x + 2 = 0

. Calculați

\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}

$\dfrac{7}{3}$
$\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{3}{7}$
$\dfrac{7}{2}$

Soluție

Prin relațiile lui Viète:

x_1 + x_2 = \dfrac{7}{3}

și

x_1 x_2 = \dfrac{2}{3}

. Suma inverselor se calculează:

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{\tfrac{7}{3}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{7}{2}.

Răspuns corect:

\dfrac{7}{2}

Capcanele clasice: confundarea

\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}

x_1+x_2 = \frac{7}{3}

(varianta A) sau cu

x_1 x_2 = \frac{2}{3}

(varianta B). Formula cheie este

\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}

, nu suma sau produsul direct din Viète.

Problema 2 · Binomul lui Newton

Determinați coeficientul lui

x^4

în dezvoltarea binomului

(2x - 1)^6

$60$
$-192$
$240$
$15$

Soluție

Termenul general al dezvoltării

(2x - 1)^6

este:

T_{k+1} = \binom{6}{k}(2x)^{6-k}(-1)^k = \binom{6}{k} \cdot 2^{6-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{6-k}.

Pentru

x^4

avem

6 - k = 4

, deci

k = 2

T_3 = \binom{6}{2} \cdot 2^4 \cdot (-1)^2 = 15 \cdot 16 \cdot 1 = 240.

Răspuns corect:

240

Greșeala frecventă este alegerea lui

k = 4

în loc de

k = 2

(obținând

T_5 = 60

, coeficientul lui

x^2

). Alta este omiterea factorului

2^4 = 16

din

(2x)^4

, ceea ce dă

\binom{6}{2} = 15

. Identificarea corectă a lui

k

din

6 - k = 4

este esențială.

Problema 3 · Limite de funcții

Calculați

\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}

$2$
$\dfrac{3}{2}$
$6$
$3$

Soluție

Substituția directă dă forma

\frac{0}{0}

, deci factorizăm:

\frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x+4}{x+2}, \quad x \neq 2.

Luând

x \to 2

\lim_{x \to 2} \frac{x^2+2x+4}{x+2} = \frac{4+4+4}{4} = \frac{12}{4} = 3.

Răspuns corect:

3

Capcana principală: a simplifica

x^3/x^2 = x

și a obține

2

(varianta A). O altă eroare este evaluarea greșită a numitorului după simplificare — folosind

x = 2

în loc de

x + 2 = 4

— care duce la

12/2 = 6

(varianta C). Factorizarea

x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)

trebuie aplicată complet.

1 / 3

EasyEcuații de gradul al II-lea (relațiile lui Viète)

Fie rădăcinile ecuației . Calculați .