Daily Math · 2026-05-26 - trei probleme despre Trigonometrie (ecuații), Matrice, Primitive

Numărul soluțiilor ecuației $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ pe intervalul $[0, 2\pi)$ este:

Notăm $t = \cos x$ și rezolvăm ecuația de gradul al doilea: $2t^2 - t - 1 = 0$. Discriminantul este $\Delta = 1 + 8 = 9$, deci $t_{1,2} = \dfrac{1 \pm 3}{4}$, adică $t_1 = 1$ și $t_2 = -\dfrac{1}{2}$. Cazul 1: $\cos x = 1 \Rightarrow x = 0$. O singură soluție în $[0, 2\pi)$. Cazul 2: $\cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{2\pi}{3}$ sau $x = \dfrac{4\pi}{3}$. Două soluții în $[0, 2\pi)$. Total: $\{0,\ \tfrac{2\pi}{3},\ \tfrac{4\pi}{3}\}$ — 3 soluții.

Capcana clasică: elevul care rezolvă doar $\cos x = -\frac{1}{2}$ și uită cazul $\cos x = 1$ (care dă $x=0$, o soluție validă) va alege 2 în loc de 3. Substituția $t = \cos x$ transformă ecuația trigonometrică într-o ecuație algebrică standard — pasul cheie pe care trebuie să-l automatizezi.

Fie matricea $A = \begin{pmatrix}2 & -1\\3 & 1\end{pmatrix}$. Valoarea $\det(A^2 - 3A)$ este:

Scriem $A^2 - 3A = A(A - 3I_2)$. Deoarece $\det(AB) = \det A \cdot \det B$, avem: $$\det(A^2 - 3A) = \det A \cdot \det(A - 3I_2).$$ **Calculăm $\det A$:** $$\det A = 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3 = 2 + 3 = 5.$$ **Calculăm $A - 3I_2$:** $$A - 3I_2 = \begin{pmatrix}2-3 & -1\\3 & 1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -1\\3 & -2\end{pmatrix}.$$ $$\det(A - 3I_2) = (-1)(-2) - (-1)(3) = 2 + 3 = 5.$$ Prin urmare: $\det(A^2 - 3A) = 5 \cdot 5 = \boxed{25}$.

Greșeala tipică este calculul direct al lui $A^2$ prin înmulțire și scăderea lui $3A$ — o abordare corectă, dar laborioasă și predispusă la erori aritmetice. Factorizarea $A^2-3A = A(A-3I)$ și proprietatea multiplicativă a determinantului reduc tot calculul la două determinanți $2\times 2$. Elevii care aleg 5 sau 10 au aplicat greșit proprietatea sau au omis un termen.

O primitivă a funcției $f(x) = \dfrac{3x+1}{x^2+1}$, $x \in \mathbb{R}$, este:

Descompunem fracția în două integrale: $$\int \frac{3x+1}{x^2+1}\,dx = \int \frac{3x}{x^2+1}\,dx + \int \frac{1}{x^2+1}\,dx.$$ Prima integrală: Recunoaștem forma $\dfrac{f'}{f}$, deoarece $(x^2+1)' = 2x$: $$\int \frac{3x}{x^2+1}\,dx = \frac{3}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \frac{3}{2}\ln(x^2+1) + C_1.$$ A doua integrală: Formulă standard: $$\int \frac{1}{x^2+1}\,dx = \arctan x + C_2.$$ Prin urmare, o primitivă este $F(x) = \dfrac{3}{2}\ln(x^2+1) + \arctan x$.

Distragerea principală este coeficientul $\frac{3}{2}$: elevii care uită să compenseze factorul 2 din derivata lui $x^2+1$ obțin $3\ln(x^2+1)$ (varianta B). Varianta C apare din confuzia de semn la termenul $\arctan$. Varianta D provine din aplicarea greșită a regulii puterii la numitor. Cheia: descompune numărătorul în multiplu al derivatei numitorului plus constantă.