Daily Math · 2026-05-27 - trei probleme despre Progresii aritmetice, Probabilități, Integrala definită

Fie un șir aritmetic cu primul termen $a_1 = 7$ și rația $r = 4$. Suma primilor $8$ termeni ai șirului este:

Folosim formula sumei primilor $n$ termeni ai unui șir aritmetic: $$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr).$$ Pentru $n = 8$, $a_1 = 7$, $r = 4$: $$S_8 = \frac{8}{2}\bigl(2 \cdot 7 + 7 \cdot 4\bigr) = 4 \cdot (14 + 28) = 4 \cdot 42 = \boxed{168}.$$

Capcanele clasice: (B) apare dacă se folosește greșit $n \cdot r = 8 \cdot 4 = 32$ în loc de $(n-1) \cdot r = 28$; (C) apare dacă se omite împărțirea la $2$; (D) apare dacă se calculează $S = n \cdot a_1 + r \cdot n$ fără formula corectă. Cheia este să nu uiți că exponentul rației este $n-1$, nu $n$.

O urnă conține $4$ bile roșii, $3$ bile albe și $2$ bile albastre. Se extrag simultan $2$ bile. Care este probabilitatea ca ambele bile extrase să fie de aceeași culoare?

Numărul total de moduri de a extrage $2$ bile din $9$ este $\binom{9}{2} = 36$. Cazurile favorabile (ambele bile de aceeași culoare): - Ambele roșii: $\binom{4}{2} = 6$ - Ambele albe: $\binom{3}{2} = 3$ - Ambele albastre: $\binom{2}{2} = 1$ Total favorabil: $6 + 3 + 1 = 10$. $$P = \frac{10}{36} = \boxed{\frac{5}{18}}.$$

Varianta (B) $\frac{1}{4}$ apare dacă se uită bila albastră ($\frac{9}{36}$). Varianta (C) $\frac{2}{9}$ apare dacă se folosește $\binom{10}{2}=45$ drept total (numărând greșit o bilă în plus). Varianta (D) $\frac{2}{3}$ apare dintr-o confuzie probabilistică — adunarea șanselor individuale fără combinatorică. Cheia: enumerați corect toți cei trei termeni din numărător.

Calculați $\displaystyle\int_{1}^{2} \left(2x - \frac{1}{x^2}\right)dx$.

Calculăm primitiva: $$\int \left(2x - x^{-2}\right)dx = x^2 + x^{-1} + C = x^2 + \frac{1}{x} + C.$$ Aplicăm formula lui Leibniz–Newton pe $[1,\,2]$: $$\left[x^2 + \frac{1}{x}\right]_1^2 = \left(4 + \frac{1}{2}\right) - \left(1 + 1\right) = \frac{9}{2} - 2 = \boxed{\frac{5}{2}}.$$

Varianta (B) $\frac{7}{2}$ apare dacă se calculează greșit primitiva lui $-x^{-2}$ ca $-x^{-1}$ (semnul minus neintegrat corect): $[x^2 - \frac{1}{x}]_1^2 = \frac{7}{2} - 0 = \frac{7}{2}$. Varianta (C) $4$ apare dacă la $x=2$ se evaluează $\frac{1}{x}$ ca $x=2$ întreg. Varianta (D) $\frac{3}{2}$ apare dintr-o eroare la limita inferioară. Atenție la semnul primitiva lui $x^{-2}$.